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ガンマ崩壊

ガンマ崩壊

Total decay rate

  • A. Bohr and B. R. Mottelson, Nuclear Structure (Benjamin, Reading, MA, 1969), Vol. I. の 式 (3C-16) より Total decay rate は

  •  

  • \begin{eqnarray*}
T(E(M)\lambda;I_1{\rightarrow}I_2)=\frac{8\pi(\lambda+1)}{\lambda[(2\lambda+1)!!]^2}\frac{1}{\hbar}q^{2\lambda+1}B(E(M)\lambda;I_1{\rightarrow}I_2)
\end{eqnarray*}

  •  

Decay rate と mean life time

  • 時刻 $t$ のときの粒子の数 $N(t)$ を decay rate (時間当たりに崩壊する割合(確率)) $R$ を用いて表せば

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\frac{dN(t)}{dt}=-RN(t)
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。これより
  •  

  • \begin{eqnarray*}
N(t) = N(0)e^{-Rt}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。これより、ある粒子が時刻 $t$ に崩壊せずに生き残っている確率の分布 $P(t)$ は、ある定数 $c$ を用いて

  •  

  • \begin{eqnarray*}
P(t) = ce^{-Rt}
\end{eqnarray*}

  •  

  • と書ける。全確率が 1 となるような $c$

  •  

  • \begin{eqnarray*}
1 &=& \int_0^{\infty}P(t)dt\\
  &=& \int_0^{\infty}ce^{-Rt}dt\\
  &=& c\left[\frac{e^{-Rt}}{-R}\right]_0^{\infty}\\
  &=& \frac{c}{R}
\end{eqnarray*}

  •  

  • より $c=R$ である。これより、規格化された $P(t)$

  •  

  • \begin{eqnarray*}
P(t) = Re^{-Rt}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。粒子の平均寿命 (mean life time) $\tau$ は、生き残っている確率の分布 $P(t)$ で時刻 $t$ の平均を取って、

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\tau
&=& \int_0^{\infty}tP(t)dt\\
&=& \int_0^{\infty}tRe^{-Rt}dt\\
&=& \int_0^{\infty}t\frac{d(-e^{-Rt})}{dt}dt\\
&=& \left[t(-e^{-Rt})\right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty}-e^{-Rt}dt\\
&=& 0 + \int_0^{\infty}e^{-Rt}dt\\
&=& \left[\frac{e^{-Rt}}{-R}\right]_0^\infty\\
&=& \frac{1}{R}\\
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。よって、$\tau$$R$ の逆数となる:

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\tau = \frac{1}{R}.
\end{eqnarray*}

  •