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シェルモデル

シェルモデル (shell model)

参考文献

計算

  • 18O の基底状態の binding energy と励起状態のエネルギーを USD 相互作用を用いて計算する。この相互作用が適用されるモデルスペースは sd-shell (0d3/2, 0d5/2, 1s1/2) である。USD 相互作用を記述するパラメータファイルは Nushell や oxbash に同梱されており、sps/w.int というファイルである。中身を見ると

  • ! The "USD" interaction of B. H. Wildenthal for A=18
    ! For other A the two-body matrix elements should be multiplied
    ! by (18/A)**(0.3) and the single-particle matrix elements
    ! are mass independent. In OXBASH the multiplication is done 
    ! automatically in the subroutine SHSP.FOR
    ! ERROR CHANGED AUG 1988   (2   2   2   1        2   1     -0.2878000)
    ! ORDER:  1 = 1D3/2    2 = 1D5/2    3 = 2S1/2 
    ! The following spe give values of 15.63, 21.75 and 18.13 relative to 
    ! 40Ca (1.612 -2.684 -2.967)
       63      1.6465800     -3.9477999     -3.1635399
      1   1   1   1        0   1     -2.1845000
      1   1   1   1        1   0     -1.4151000
      1   1   1   1        2   1     -0.0665000
      1   1   1   1        3   0     -2.8842001
      2   1   1   1        1   0      0.5647000
      2   1   1   1        2   1     -0.6149000
    ...
    ...
      3   3   3   1        1   0      1.2501000
      3   3   3   3        0   1     -2.1245999
  • となっており、! で始まる行はコメント行であり無視する。 コメント行を飛ばして考えたときの 1 行目では、 1 番目の整数が two-body matrix element (TBME) の数、2 - 4 番目の実数が 0d3/2, 0d5/2, 1s1/2 軌道の single-paricle energy (SPE) (MeV 単位) を表す。SPE と 1 粒子軌道との対応は sps/sd.sp というファイルを参照している?2 行目から 64 (= 63 + 1) 行目は TBME (MeV 単位) を表す。書式は

  •  

  • \begin{eqnarray*}
j_1 \ \  j_2 \ \ j_3 \ \ j_4 \ \ \ \ \ \   J \ \ T\ \ \ \  \langle j_1\,j_2\,J\,T\,|V|\,j_1\,j_2\,J\,T\rangle
\end{eqnarray*}

  •  

  • となっており、J と T はそれぞれ spin と isospin を表す。j1 - j4 は 1 粒子軌道を表す整数が入り、1 : 0d3/2, 2 : 0d5/2, 3 : 1s1/2, という対応となっている。整数と1 粒子軌道の対応はやはり sps/sd.sp を見ている? sps/label.dat というファイルにも書いてある。ちなみにこの有効相互作用の SPEs (3個) と TBMEs (63 個) は元の論文 (B. H. Wildenthal, Prog. Part. Nucl. Phys. 11, 5 (1984)) や USDA, USDB の論文 (PRC74(2006)034315) にすべての要素が書いてある。このファイルより、各軌道の SPE は

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\epsilon_{0d3/2} &=&  1.6465800~{\rm MeV}\\
\epsilon_{0d5/2} &=& -3.9477999~{\rm MeV}\\
\epsilon_{1s1/2} &=& -3.1635399~{\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。
  •  

  • Jπ = 0+ の場合の計算

  •  

  • \begin{eqnarray*}
| \Phi_1 \rangle = |0d_{3/2},0d_{3/2};J=0,T=1 \rangle\\
| \Phi_2 \rangle = |0d_{5/2},0d_{5/2};J=0,T=1 \rangle\\
| \Phi_3 \rangle = |1s_{1/2},1s_{1/2};J=0,T=1 \rangle\\
\end{eqnarray*}

  •  

  • と書くとする。計算で使う TBME を抜きだせば
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\langle \Phi_1|V|\Phi_1\rangle\ &=& \langle 0d_{3/2},0d_{3/2};J=0,T=1|V|0d_{3/2},0d_{3/2};J=0,T=1 \rangle =  -2.1845000~{\rm MeV}\\
\langle \Phi_2|V|\Phi_1\rangle\ &=& \langle 0d_{5/2},0d_{5/2};J=0,T=1|V|0d_{3/2},0d_{3/2};J=0,T=1 \rangle =  -3.1856000~{\rm MeV}\\
\langle \Phi_2|V|\Phi_2\rangle\ &=& \langle 0d_{5/2},0d_{5/2};J=0,T=1|V|0d_{5/2},0d_{5/2};J=0,T=1 \rangle =  -2.8197000~{\rm MeV}\\
\langle \Phi_2|V|\Phi_3\rangle\ &=& \langle 0d_{5/2},0d_{5/2};J=0,T=1|V|1s_{1/2},1s_{1/2};J=0,T=1 \rangle =  -1.3247000~{\rm MeV}\\
\langle \Phi_3|V|\Phi_1\rangle\ &=& \langle 1s_{1/2},1s_{1/2};J=0,T=1|V|0d_{3/2},0d_{3/2};J=0,T=1 \rangle =  -1.0835000~{\rm MeV}\\
\langle \Phi_3|V|\Phi_3\rangle\ &=& \langle 1s_{1/2},1s_{1/2};J=0,T=1|V|1s_{1/2},1s_{1/2};J=0,T=1 \rangle =  -2.1245999~{\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。これより Hamiltonian matrix elements は
  •  

  • \begin{eqnarray*}
H_{11} &=& 2\epsilon_{0d3/2} + \langle \Phi_1|V|\Phi_1\rangle = 2\times 1.6465800 -2.1845000 = 1.10866~{\rm MeV}\\
H_{22} &=& 2\epsilon_{0d5/2} + \langle \Phi_2|V|\Phi_2\rangle = 2\times(-3.9477999) -2.8197000 = -10.715299~{\rm MeV}\\
H_{33} &=& 2\epsilon_{1s1/2} + \langle \Phi_3|V|\Phi_3\rangle = 2\times(-3.1635399) -2.1245999 = -8.4516797~{\rm MeV}\\
H_{21} &=& H_{12} = \langle \Phi_2|V|\Phi_1\rangle = -3.1856000~{\rm MeV}\\
H_{23} &=& H_{32} = \langle \Phi_2|V|\Phi_3\rangle = -1.3247000~{\rm MeV}\\
H_{31} &=& H_{13} = \langle \Phi_3|V|\Phi_1\rangle = -1.0835000~{\rm MeV}\\
\end{eqnarray*}

  •  

  • となり、Hamiltonian matrix は
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\left[
\begin{array}{ccc}
H_{11} & H_{12} & H_{13} \\
H_{21} & H_{22} & H_{23} \\
H_{31} & H_{32} & H_{33}
\end{array}
\right] = 
\left[
\begin{array}{ccc}
1.10866    & -3.1856000 & -1.0835000 \\
-3.1856000 & -10.715299 & -1.3247000 \\
-1.0835000 & -1.3247000 & -8.4516797
\end{array}
\right] {\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • と書ける。この行列を対角化すると (ROOT での対角化はこのマクロを実行)、固有値が以下のように得られる。

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\left[
\begin{array}{c}
-12.171 \\
-7.85115 \\
1.96386
\end{array}
\right] {\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • これらは、以下の Nushell の計算結果と完全に一致する。
  • Interaction file information from go.mit       
    spe taken from first line in *.int file
    Interaction  spe
    w             1.6466 -3.9478 -3.1635
    
       N  name  Njtp  T    E(MeV)   J     Ex(MeV) (* for yrast)
    
       1 b0202w   1   1    -12.171  0  +   0.000 *
       2 b0202w   2   1     -7.851  0  +   4.320  
       3 b0202w   3   1      1.964  0  +  14.135  
  •  

  • Jπ = 2+ の場合の計算

  •  

  • J = 2 である状態を選び、
  •  

  • \begin{eqnarray*}
| \Phi_1 \rangle = |0d_{3/2},0d_{3/2};J=2,T=1 \rangle\\
| \Phi_2 \rangle = |0d_{5/2},0d_{3/2};J=2,T=1 \rangle\\
| \Phi_3 \rangle = |1s_{1/2},0d_{3/2};J=2,T=1 \rangle\\
| \Phi_4 \rangle = |0d_{5/2},0d_{5/2};J=2,T=1 \rangle\\
| \Phi_5 \rangle = |1s_{1/2},0d_{5/2};J=2,T=1 \rangle\\
\end{eqnarray*}

  •  

  • と書くとする。これより、
  •  

  • \begin{eqnarray*}
& & \left[
\begin{array}{ccccc}
H_{11} & H_{12} & H_{13} & H_{14} & H_{15} \\
H_{21} & H_{22} & H_{23} & H_{24} & H_{25} \\
H_{31} & H_{32} & H_{33} & H_{34} & H_{35} \\
H_{41} & H_{42} & H_{43} & H_{44} & H_{45} \\
H_{51} & H_{52} & H_{53} & H_{54} & H_{55}
\end{array}
\right]\\
&=& \left[
\begin{array}{ccccc}
2\epsilon_{0d3/2} & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & \epsilon_{0d3/2}+\epsilon_{0d5/2} & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & \epsilon_{0d3/2}+\epsilon_{1s1/2} & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2\epsilon_{0d5/2} & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \epsilon_{0d5/2}+\epsilon_{1s1/2}
\end{array}
\right] \\
&&+ \left[
\begin{array}{ccccc}
\langle\Phi_1|V|\Phi_1\rangle & \langle\Phi_1|V|\Phi_2\rangle & \langle\Phi_1|V|\Phi_3\rangle & \langle\Phi_1|V|\Phi_4\rangle & \langle\Phi_1|V|\Phi_5\rangle\\
\langle\Phi_2|V|\Phi_1\rangle & \langle\Phi_2|V|\Phi_2\rangle & \langle\Phi_2|V|\Phi_3\rangle & \langle\Phi_2|V|\Phi_4\rangle & \langle\Phi_2|V|\Phi_5\rangle\\
\langle\Phi_3|V|\Phi_1\rangle & \langle\Phi_3|V|\Phi_2\rangle & \langle\Phi_3|V|\Phi_3\rangle & \langle\Phi_3|V|\Phi_4\rangle & \langle\Phi_3|V|\Phi_5\rangle\\
\langle\Phi_4|V|\Phi_1\rangle & \langle\Phi_4|V|\Phi_2\rangle & \langle\Phi_4|V|\Phi_3\rangle & \langle\Phi_4|V|\Phi_4\rangle & \langle\Phi_4|V|\Phi_5\rangle\\
\langle\Phi_5|V|\Phi_1\rangle & \langle\Phi_5|V|\Phi_2\rangle & \langle\Phi_5|V|\Phi_3\rangle & \langle\Phi_5|V|\Phi_4\rangle & \langle\Phi_5|V|\Phi_5\rangle
\end{array}
\right]
\\
&=& \left[
\begin{array}{ccccc}
2\times(1.6466) & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1.6466-3.9478 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1.64660-3.1635 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2\times(-3.9478) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -3.9478-3.1635
\end{array}
\right]\\
&&+
\left[
\begin{array}{ccccc}
-0.0665 & -0.6149 & -0.5154 & -1.6221 & -0.4041 \\
-0.6149 & -0.3248 & -0.5247 & -0.2828 & -0.4770 \\
-0.5154 & -0.5247 & -0.4064 & -0.6198 & -1.9410 \\
-1.6221 & -0.2828 & -0.6198 & -1.0020 & -0.8616 \\
-0.4041 & -0.4770 & -1.9410 & -0.8616 & -0.8183
\end{array}
\right]{\rm MeV}\\
&=& \left[
\begin{array}{ccccc}
 3.2267 & -0.6149 & -0.5154 & -1.6221 & -0.4041 \\
-0.6149 & -2.6260 & -0.5247 & -0.2828 & -0.4770 \\
-0.5154 & -0.5247 & -1.9233 & -0.6198 & -1.9410 \\
-1.6221 & -0.2828 & -0.6198 & -8.8976 & -0.8616 \\
-0.4041 & -0.4770 & -1.9410 & -0.8616 & -7.9296
\end{array}
\right]{\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。この行列を対角化すると (ROOT での対角化はこのマクロを実行)、固有値が以下のように得られる。

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\left[
\begin{array}{c}
-9.99125 \\
-7.73236 \\ 
3.52193  \\
-2.70561  \\
-1.24263
\end{array}
\right] {\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • これらは、以下の Nushell の binding energy の計算結果と完全に一致する。
  • Interaction file information from go.mit       
    spe taken from first line in *.int file
    Interaction  spe
    w             1.6466 -3.9478 -3.1635
    
       N  name  Njtp  T    E(MeV)   J     Ex(MeV) (* for yrast)
    
       1 b4202w   1   1     -9.991  2  +   0.000 *
       2 b4202w   2   1     -7.732  2  +   2.259  
       3 b4202w   3   1     -2.706  2  +   7.285  
       4 b4202w   4   1     -1.243  2  +   8.748  
       5 b4202w   5   1      3.522  2  +  13.513  
  •  

  • Jπ = 1+ の場合の計算

  •  

  • J = 2 の場合の計算とほぼ同じ手順となる。J = 1 である状態を選び、
  •  

  • \begin{eqnarray*}
| \Phi_1 \rangle = |0d_{3/2},0d_{5/2};J=1,T=1 \rangle\\
| \Phi_2 \rangle = |0d_{3/2},0s_{1/2};J=1,T=1 \rangle\\
\end{eqnarray*}

  •  

  • と書くとする。これより、
  •  

  • \begin{eqnarray*}
& & \left[
\begin{array}{ccccc}
H_{11} & H_{12} \\
H_{21} & H_{22}
\end{array}
\right]\\
&=& \left[
\begin{array}{cc}
\epsilon_{0d3/2}+\epsilon_{0d5/2} & 0\\
0 & \epsilon_{0d3/2}+\epsilon_{1s1/2}
\end{array}
\right] 
+ \left[
\begin{array}{cc}
\langle\Phi_1|V|\Phi_1\rangle & \langle\Phi_1|V|\Phi_2\rangle\\
\langle\Phi_2|V|\Phi_1\rangle & \langle\Phi_2|V|\Phi_2\rangle
\end{array}
\right] \\
&=& \left[
\begin{array}{cc}
-1.2678 &  0.1874\\
 0.1874 & -0.9104
\end{array}
\right]{\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。この行列を対角化すると (ROOT での対角化はこのマクロを実行)、固有値が以下のように得られる。

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\left[
\begin{array}{c}
-1.34806 \\
-0.830124
\end{array}
\right] {\rm MeV}
\end{eqnarray*}

  •  

  • これらは、以下の Nushell の binding energy の計算結果と完全に一致する。
  • Interaction file information from go.mit       
    spe taken from first line in *.int file
    Interaction  spe
    w             1.6466 -3.9478 -3.1635
    
       N  name  Njtp  T    E(MeV)   J     Ex(MeV) (* for yrast)
    
       1 b2202w   1   1     -1.348  1  +   0.000 *
       2 b2202w   2   1     -0.830  1  +   0.518  

メモ