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共鳴状態/計算ノート(バックアップ)

共鳴状態/計算ノート(バックアップ)

計算メモ

  • Spherical Neumann function と Spherical Bessel function と r2 の積の積分

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int_0^\infty r^2 j_\ell(kr)n_\ell(k'r)dr = -\frac{1}{(k^2-k'^2)\sqrt{kk'}}\left(\frac{k}{k'}\right)^{\ell+1/2}
\end{eqnarray*}

  •  

  • を求める。
  •  

  • \begin{eqnarray*}
j_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\ell+1/2}(z)\\
n_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}N_{\ell+1/2}(z)
\end{eqnarray*}

  •  

  • を用いると
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int_0^\infty r^2 j_\ell(kr)n_\ell(k'r)dr
&=& \int_0^\infty r^2 \sqrt{\frac{\pi}{2kr}}J_{\ell+1/2}(kr) \sqrt{\frac{\pi}{2k'r}}N_{\ell+1/2}(k'r)dr\\
&=& \frac{\pi}{2\sqrt{kk'}}\int_0^\infty r J_{\ell+1/2}(kr) N_{\ell+1/2}(k'r)dr\\
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。ここで下記の節より
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int_0^\infty z J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)dz = -\frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}
\end{eqnarray*}

  •  

  • であるから
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int_0^\infty r^2 j_\ell(kr)n_\ell(k'r)dr = -\frac{1}{(k^2-k'^2)\sqrt{kk'}}\left(\frac{k}{k'}\right)^{\ell+1/2}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。
  •  

  • Neumann function と Bessel function と z の積の積分

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int_0^\infty z J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)dz = -\frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}
\end{eqnarray*}

  •  

  • を求める。http://dlmf.nist.gov/10.22.E4 より

  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int z J_{\nu}(az) N_{\nu}(bz)dz = \frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\nu+1}(az) N_{\nu}(bz)- b J_{\nu}(az) N_{\nu+1}(bz) \right)
\end{eqnarray*}

  •  

  • であるから
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int_0^\infty z J_{\ell+1/2}(ax) N_{\ell+1/2}(bz)dz
&=& \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]_0^\infty\\
&=& \lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]\\
& & - \lim_{z \to 0} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。ここで http://dlmf.nist.gov/10.7.ii より $$ z \to \infty$$ に対して

  •  

  • \begin{eqnarray*}
J_{\nu}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\\
N_{\nu}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
\end{eqnarray*}

  •  

  • であるから
  •  

  • \begin{eqnarray*}
J_{\ell+3/2}(z)
&\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{(\ell+3/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
=    \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\pi\right)\\
&=&   -\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\
J_{\ell+1/2}(z)
&\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{(\ell+1/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
=    \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)\\
&=&   -\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\
N_{\ell+3/2}(z)
&\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{(\ell+3/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
=    \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\pi\right)\\
&=&   -\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\
N_{\ell+1/2}(z)
&\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{(\ell+1/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
=    \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)\\
&=&    \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\
\end{eqnarray*}

  •  

  • である。以上を用いると、
  •  

  • \begin{eqnarray*}
&& \lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]\\
&&= \lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(-a\sqrt{\frac{2}{\pi az}}\cos\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\sqrt{\frac{2}{\pi bz}}\cos\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) - b\sqrt{\frac{2}{\pi az}}\sin\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\sqrt{\frac{2}{\pi bz}}\sin\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) \right)\right]\\
&&= -\frac{2}{\pi\sqrt{ab}(a^2-b^2)}\lim_{z \to \infty} \left[a\cos\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\cos\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) + b\sin\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\sin\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) \right]\\
&& = -\frac{2}{\pi\sqrt{ab}(a^2-b^2)}\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{a}{2}\left(\cos\left((a-b)z\right) + \cos\left((a+b)z-\ell\pi\right) \right) + \frac{b}{2}\left(\cos\left((a-b)z\right) - \cos\left((a+b)z-\ell\pi\right) \right) \right]\\
&& = -\frac{1}{\pi\sqrt{ab}(a^2-b^2)}\lim_{z \to \infty} \left[ (a+b)\cos\left((a-b)z\right) + (a-b)\cos\left((a+b)z-\ell\pi\right) \right]\\
&& = -\frac{1}{\pi\sqrt{ab}}\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{\cos\left((a-b)z\right)}{a-b} + \frac{\cos\left((a+b)z-\ell\pi\right)}{a+b} \right]
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。ここで
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\lim_{a \to \infty} \frac{\sin(ax)}{\pi x} = \delta(x)
\end{eqnarray*}

  •  

  • となることを思い出せば
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\lim_{a \to \infty} \frac{\cos(ax)}{\pi x} = 0
\end{eqnarray*}

  •  

  • になるはず。($\lim_{a \to \infty} \frac{\sin(ax)}{x}$$\lim_{a \to \infty} \frac{\cos(ax)}{x}$ も各 $x\ (\ne 0)$ において 0 に収束しないが、微小区間を考えると、その中で無限回振動しているので平均して 0 になる。すなわち弱収束している?)

  • よって
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right] = 0
\end{eqnarray*}

  •  

  • また http://dlmf.nist.gov/10.7.i より $$ z \to 0$$ に対して

  •  

  • \begin{eqnarray*}
J_{\nu}(z) &\sim& \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{1}{2}z\right)^\nu\\
N_{\nu}(z) &\sim& -\frac{1}{\pi}\Gamma(\nu)\left(\frac{1}{2}z\right)^{-\nu}
\end{eqnarray*}

  •  

  • であるから
  •  

  • \begin{eqnarray*}
&&\lim_{z \to 0} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]\\
&&= \lim_{z \to 0} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(-a \frac{1}{\Gamma(\ell+5/2)}\left(\frac{1}{2}az\right)^{\ell+3/2} \frac{1}{\pi}\Gamma(\ell+1/2)\left(\frac{1}{2}bz\right)^{-\ell-1/2} + b \frac{1}{\Gamma(\ell+3/2)}\left(\frac{1}{2}az\right)^{\ell+1/2} \frac{1}{\pi}\Gamma(\ell+3/2)\left(\frac{1}{2}bz\right)^{-\ell-3/2} \right)\right]\\
&&= \frac{1}{\pi(a^2-b^2)}\lim_{z \to 0} \left[-az \frac{\Gamma(\ell+1/2)}{\Gamma(\ell+5/2)}\left(\frac{1}{2}z\right)\frac{a^{\ell+3/2}}{b^{\ell+1/2}} +  z\left(\frac{1}{2}z\right)^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}\right]\\
&&= \frac{1}{\pi(a^2-b^2)}\lim_{z \to 0} \left[-\frac{z^2}{2} \frac{\Gamma(\ell+1/2)}{\Gamma(\ell+5/2)}\frac{a^{\ell+5/2}}{b^{\ell+1/2}} +  2\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}\right]\\
&&= \frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。以上より
  •  

  • \begin{eqnarray*}
\int_0^\infty r J_{\ell+1/2}(kr) N_{\ell+1/2}(k'r)dr = \frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。
  •  

  • Spherical Neumann function と Spherical Bessel function の変換

  •  

  • http://dlmf.nist.gov/10.2.E3 より、

  •  

  • \begin{eqnarray*}
N_\nu(z) = \frac{J_\nu(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu\pi)}.
\end{eqnarray*}

  •  

  • ここで $$ \nu = \ell+1/2, \ell : {\rm integer} $$ に対して、

  •  

  • \begin{eqnarray*}
N_{\ell+1/2}(z)
&=& \frac{J_{\ell+1/2}(z)\cos((\ell+1/2)\pi)-J_{-(\ell+1/2)}(z)}{\sin((\ell+1/2)\pi)} \\
&=& \frac{-J_{-(\ell+1/2)}(z)}{\sin((\ell+1/2)\pi)} \\
&=& (-1)^{\ell+1}J_{-(\ell+1/2)}(z) \\
&=& (-1)^{\ell+1}J_{(-\ell-1)+1/2}(z)
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。ここで
  •  

  • \begin{eqnarray*}
j_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\ell+1/2}(z)\\
n_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}N_{\ell+1/2}(z)
\end{eqnarray*}

  •  

  • を用いれば
  •  

  • \begin{eqnarray*}
n_\ell(z) &=& (-1)^{\ell+1} j_{-\ell-1}(z)
\end{eqnarray*}

  •  

  • となる。