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共鳴状態/計算ノート

共鳴状態/計算ノート

  • 以下では浜本さんの論文 PRC81(2010)021304(R) の連続状態の波動関数

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    の規格化因子を求めようとした。でも下記の計算はどこか間違っている気がする。一応計算過程をメモしておく。

計算

  • 連続状態の波動関数を規格化する式
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • から

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    を求める。ただし
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • である(参考: Delta Function)。 下記の計算メモより

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • を満たす

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    を求めればよい。でもそんな解は存在しない気がする。右辺の第二項が 0 であれば上式は
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。これを満たす

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • である。よって

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • と書ける(符号は浜本さんの論文に合わせた)。これらを使えば、規格化された波動関数は
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。

計算メモ

  • Spherical Bessel 関数と spherical Neumann 関数の和の積分

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • を求める。http://dlmf.nist.gov/1.17.E14 と下記の計算メモより

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから http://dlmf.nist.gov/1.2.E11 を使うと

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。
  •  

  • Spherical Neumann function と Spherical Bessel function と r2 の積の積分

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • を求める。
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • を用いると
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。ここで下記の節より
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。
  •  

  • Neumann function と Bessel function と z の積の積分

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • を求める。http://dlmf.nist.gov/10.22.E4 より

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。ここで http://dlmf.nist.gov/10.7.ii より

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    に対して
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。http://dlmf.nist.gov/4.21.E17 より

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。ここで
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となることを思い出せば
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • になるはず。(

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    も各
    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    において 0 に収束しないが、微小区間を考えると、その中で無限回振動しているので平均して 0 になる。すなわち弱収束している?)
  • よって
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • また http://dlmf.nist.gov/10.7.i より

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    に対して
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。以上より
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。
  •  

  • Neumann function の積と z の積の積分

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • を求める。http://dlmf.nist.gov/10.22.E4 より

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。ここで http://dlmf.nist.gov/10.7.ii より

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    に対して
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。http://dlmf.nist.gov/4.21.E15 より

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。ここで
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • また http://dlmf.nist.gov/10.7.i より

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    に対して
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • であるから
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。以上より
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • Spherical Neumann function と Spherical Bessel function の変換

  •  

  • http://dlmf.nist.gov/10.2.E3 より、

  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • ここで

    dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
    に対して、
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。ここで
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • を用いれば
  •  

  • dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
    
    
  •  

  • となる。

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