立体角/計算ノート（楕円）

下記の楕円で囲まれる領域 (楕円板) を見込む立体角を求める。
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$
以下の座標を採用すると、
$\begin{eqnarray*} x &=& ra\cos\varphi \\ y &=& rb\sin\varphi \end{eqnarray*}$
ヤコビ行列式は
$\newcommand{\dfrac}{\displaystyle\frac} \begin{eqnarray*} \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\right| &=& \left| \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\varphi} \\[1.7ex] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\varphi} \end{array} \right| \\ &=& \left| \begin{array}{ccc} a \cos\varphi & -r a \sin\varphi \\[1.7ex] b \sin\varphi & r b \cos\varphi \end{array} \right| \\ &=& rab\cos^2\varphi + rab\sin^2\varphi\\ &=& rab \end{eqnarray*}$
このとき、楕円で囲まれる領域を見込む立体角を求める。
$\begin{eqnarray*} \Omega &=& \int\int_S \frac{\cos\theta}{x^2+y^2+c^2}dxdy\\ &=& \int\int_S \frac{c}{(x^2+y^2+c^2)^{3/2}}dxdy\\ &=& \int_0^{2\pi}\int_0^1 \frac{rabc}{(r^2a^2\cos^2\varphi+r^2b^2\sin^2\varphi+c^2)^{3/2}}drd\varphi\\ &=& abc\int_0^{2\pi} \frac{1}{(a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi)^{3/2}} \int_0^1 \frac{r}{(r^2+\frac{c^2}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi})^{3/2}}drd\varphi\\ \end{eqnarray*}$
ここで
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{x}{(x^2+a)^{3/2}}dx = \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a+1}} \end{eqnarray*}$
であることを使うと、
$\begin{eqnarray*} \Omega &=& abc\int_0^{2\pi} \frac{1}{(a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi)^{3/2}} \left[\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi} } }-\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}+1}}\right]d\varphi\\ &=& abc\int_0^{2\pi} \frac{1}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi} \left[\frac{1}{c}-\frac{1}{\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi+c^2}}\right]d\varphi\\ &=& ab\int_0^{2\pi} \frac{1}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}d\varphi -abc\int_0^{2\pi} \frac{1}{(a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi)\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi+c^2}}d\varphi\\ &=& 4ab\int_0^{\pi/2} \frac{1}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}d\varphi -4abc\int_0^{\pi/2} \frac{1}{(a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi)\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi+c^2}}d\varphi \end{eqnarray*}$
となる。ここで I. S. Gradshteyn and M. Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products (Academic Press, New York, 2007), 7th ed., p. 404. Sect. 3.365 の式
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \frac{\tan^{1-2\mu}\varphi}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}d\varphi = \frac{\pi}{2a^{2\mu}b^{2-2\mu}\sin\mu\pi} \ \ \ \ [0< {\rm Re}\,\mu < 1] \end{eqnarray*}$
より $\mu = 1/2$ と置けば
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}d\varphi = \frac{\pi}{2ab} \end{eqnarray*}$
となる。また、http://dlmf.nist.gov/19.2.E7 と http://dlmf.nist.gov/19.2.E8 より第 3 種不完全楕円関数 (Legendre's incomplete elliptic integral of the third kind) $\Pi (\phi,\alpha^2,k)$ と第 3 種完全楕円関数 (Legendre's complete elliptic integral of the third kind) $\Pi (\alpha^2,k)$ はそれぞれ
$\begin{eqnarray*} \Pi (\phi,\alpha^2,k) &=& \int_0^\phi\frac{d\theta}{(1-\alpha^2\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\\ \Pi \left(\alpha^2,k\right) &=& \Pi \left(\frac{\pi}{2},\alpha^2,k\right) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{(1-\alpha^2\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \end{eqnarray*}$
となる。 $\Pi (\alpha^2,k)$ を用いれば
$\begin{eqnarray*} &&\int_0^{\pi/2} \frac{1}{(a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi)\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi+c^2}}d\varphi\\ &&=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{(a^2-(a^2-b^2)\sin^2\varphi)\sqrt{a^2+c^2-(a^2-b^2)\sin^2\varphi}}d\varphi\\ &&=\frac{1}{a^2\sqrt{a^2+c^2}}\int_0^{\pi/2} \frac{1}{[1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\varphi]\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2+c^2}\sin^2\varphi}}d\varphi\\ &&=\frac{1}{a^2\sqrt{a^2+c^2}}\Pi \left(1-\frac{b^2}{a^2},\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+c^2}}\right) \end{eqnarray*}$
となる。以上より
$\begin{eqnarray*} \Omega &=& 4ab\int_0^{\pi/2} \frac{1}{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}d\varphi -4abc\int_0^{\pi/2} \frac{1}{(a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi)\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi+c^2}}d\varphi\\ &=& 2\pi - \frac{4bc}{a\sqrt{a^2+c^2}}\Pi \left(1-\frac{b^2}{a^2},\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+c^2}}\right) \end{eqnarray*}$
となる。

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