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\alpha &=& \frac{e^2}{\hbar c} = \frac{1}{137.035999074} \nonumber\\[1.5ex] \alpha &=& \frac{e^2}{\hbar c} = \frac{1}{137.035999074} \ \ \mathrm{(in\ Gaussian\ CGS\ units)}\nonumber\\[1.5ex]

Coulomb Breakup

  • E1, M1, E2 の仮想光子数 (nE1(ω), nM1(ω), nE2(ω))

    • Bertulani et al. のレポート (Physics Report 163(1988)299) の式(2.5.5a), (2.5.5b), (2.5.5c)より、E1, M1, E2 の仮想光子数 nE1(ω), nM1(ω), nE2(ω) はそれぞれ、

    •  

      • \begin{eqnarray}
n_{E1}(\omega) &=& \frac{2}{\pi}Z^2_1 \alpha \left(\frac{c}{v}\right)^2 \left[\xi K_0K_1-\frac{\xi^2v^2}{2c^2}(K_1^2-K_0^2)\right] \nonumber \\
n_{M1}(\omega) &=& \frac{2}{\pi}Z^2_1 \alpha \left[\xi K_0K_1-\frac{\xi^2}{2}(K_1^2-K_0^2)\right] \nonumber \\
n_{E2}(\omega) &=& \frac{2}{\pi}Z^2_1 \alpha \left(\frac{c}{v}\right)^4 \left[2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) K_1^2 + \xi \left(2-\frac{v^2}{c^2}\right)^2 K_0K_1  - \frac{\xi^2v^4}{2c^4}(K_1^2-K_0^2)\right]  
\nonumber
\end{eqnarray}

    •  

    • となる。ここで
      • π : 円周率
      • Z1 : 標的の陽子数

      • α : 微細構造定数
      • c : 光の速さ

      • v : 入射粒子の速さ

      • K0, K1 : 変形ベッセル関数 (modified bessel function)

      • ξ=ωRv

      • ω : 仮想光子の振動数
      • R : カットオフパラメータ(核同士が衝突しない最小のインパクトパラメータ)

      • γ : 入射粒子のローレンツ因子($$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$$)

    • である。実際にコンピュータで計算する場合、以下のような式変形をすると都合が良い。
      •  

      • $$\xi = \frac{\omega R}{\gamma v}\frac{\hbar c}{\hbar c}=\frac{E_x R}{\gamma \beta\hbar c}.$$

      •  

    • ここで β=v/cであり、$$\hbar c=197.326 971~{\rm MeV \cdot fm}$$$$E_x = \hbar\omega$$ は仮想光子のエネルギーを表し、このエネルギーの光子を吸った原子核はこのエネルギー分だけ励起する。

    • 中村さんの論文 (PRL103(2009)262501など) のNE1(Ex) は上の nE1(ω) と同じ量であり、$$N_{E1}(\hbar\omega)=n_{E1}(\omega)$$ という関係である。

    •  

  • 仮想光子数の計算

    • 仮想光子数は中村さんの持っている emd ライブラリで計算できる。 emd_sub.f というファイル内で仮想光子数などの関数が定義されている。例えば、n_photon_omega という関数は E1 の仮想光子数を返す関数である。ただし、引数として ω でなく、$$E_x = \hbar\omega$$ を用いているため注意が必要。また、emd_sub.f 内では変形ベッセル関数を Numerical Recipies in C の 237 ページ辺りを参考に計算しているようだ。

    •  

  • クーロン励起断面積

    • クーロン励起断面積σは以下のようにかける (PRC46(1992)2340)。

      •  

      • $$\sigma = \sum_{\pi\lambda} \int \frac{1}{E_x}N_{\pi\lambda}(E_x)\sigma^{\pi\lambda}_\gamma(E_x)dE_x$$.

      •  

    • また、励起エネルギーで微分すれば (中村さんD論より)、
      •  

      • $$\frac{d\sigma}{dE_x} = \sum_{\pi\lambda} \frac{1}{E_x}N_{\pi\lambda}(E_x)\sigma^{\pi\lambda}_\gamma(E_x)$$.

      •  

    • となる。ここで、πλ (=E1, M1, E2, ...) は電磁気多重極を表し、Eλ が電気2λ重極, Mλ が磁気2λ重極となる。Nπλ(Ex) は仮想光子数、$$\sigma^{\pi\lambda}_\gamma(E_x)$$ は光吸収断面積を表す。仮想光子数は無次元。光吸収断面積は面積の次元を持つ。

    • 光吸収断面積は、以下のように書ける (PRC46(1992)2340より)。
      •  

      • $$\sigma^{\pi\lambda}_\gamma(E_x) = \frac{(2\pi)^3(\lambda+1)}{\lambda[(2\lambda+1)!!]^2}\left(\frac{E_x}{\hbar c}\right)^{2\lambda-1}\frac{dB(\pi\lambda)}{dE_x}$$.

      •  

    • ここで、dB(πλ)/dEx の単位は e2fm/MeV である。また、

    •  

      • \begin{eqnarray}
\alpha &=& \frac{e^2}{\hbar c} = \frac{1}{137.035999074} \ \ \mathrm{(in\ Gaussian\ CGS\ units)}\nonumber\\[1.5ex]
\hbar c &=& 197.326971~{\rm MeV\cdot fm} \nonumber
\end{eqnarray}

      •  

    • より、
      •  

      • $$e^2 \approx 1.44~{\rm MeV\cdot fm}$$

      •  

    • であるから、dB(πλ)/dEx の単位は

      •  

      • $${\rm e^2 fm^{2\lambda}/MeV = 1.44~fm^{2\lambda+1}}$$

      •  

    • とも書ける。
    • ここで、次元があっているかを確認すると、
      •  

      • $$\left(\frac{E_x}{\hbar c}\right)^{2\lambda-1}$$

      •  

    • の次元は、
      •  

      • $$\hbar c = 197.326971~{\rm MeV\cdot fm}$$

      •  

    • より、fm-(2λ-1) の次元となる。dB(πλ)/dEx は fm2λ+1 の次元を持つので、 $$\sigma^{\pi\lambda}_\gamma(E_x)$$ が面積の次元を持つことになる。

    •  

  • E1 強度分布の計算

    • クーロン励起断面積の励起エネルギーに対する分布(上記参照)で、E1 のみを考えれば、

      •  

      • $$\frac{d\sigma(E1)}{dE_x} = \frac{16\pi^3}{9\hbar c}N_{E1}(E_x)\frac{dB(E1)}{dE_x}$$

      •  

    • となる。非束縛状態に励起する場合、この断面積はクーロン分解断面積の励起エネルギー分布に相当する。この式から E1 強度分布 dB(E1)/dEx を導出する場合、dB(E1)/dEx について解いた

      •  

      • $$\frac{dB(E1)}{dE_x} = \frac{9\hbar c}{16\pi^3}\frac{1}{N_{E1}(E_x)} \frac{d\sigma(E1)}{dE_x}$$

      •  

    • を用いる。dσ(E1)/dEx の単位は b/MeV、dB(E1)/dEx の単位は e2fm2/MeV であるから、上の式に $$ 1 = \frac{\rm e^2}{\rm e^2}\frac{\rm 100~fm^2}{\rm b}$$ をかけて、

      •  

      • \begin{eqnarray}
\frac{dB(E1)}{dE_x}
&=& \frac{9\hbar c}{16\pi^3}\frac{1}{N_{E1}(E_x)} \frac{d\sigma(E1)}{dE_x} \frac{\rm e^2}{\rm e^2}\frac{\rm 100~fm^2}{\rm b} \nonumber\\
&=& \frac{900}{16\pi^3\alpha}\frac{1}{N_{E1}(E_x)} \frac{d\sigma(E1)}{dE_x} \frac{\rm e^2fm^2}{\rm b} \nonumber \\
&\sim& 249 \cdot \frac{1}{N_{E1}(E_x)} \frac{d\sigma(E1)}{dE_x} \frac{\rm e^2fm^2}{\rm b} \nonumber
\end{eqnarray}

      •  

    • とする。ここで、100 fm2 = 1 b, $$ \alpha = \frac{e^2}{\hbar c}$$ (微細構造定数(cgsガウス単位系)) を用いた。これで、ちゃんと単位が合うようになる。

    •  

  • E1 の表記

    • E1 は変数ではないのでローマン体で書くのかと思いきや、中村さんは APS のエディターにイタリックでと言われたらしい。そのためか、中村さんの PRL96(2006)252502 では E1 はイタリックになっている。Bertulani さんの論文 (PRC46(1992)2340) でもイタリック。 一方で Bertulani さんの APS ではない論文 (Phys.Rep.163(1988)299, PLB650(2007)233) では、ローマン体になっている。 APS ではイタリックにすればよい?