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Dead time

Dead time

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Dead time について

  • 参考1 : 仁科センター計算機環境 > RIBFDAQ > RIBFDAQの作法的なこと (pdf)

  • 参考2 : 西村太樹さんのホームページ - dead time caluculation

  • Dead time の定義
    • ある 1 つのイベントがアクセプトされたとき、そのイベント発生直後に detector や DAQ が次のイベントを受け付けることができない時間を表す。単位は second 。下記の $$\tau$$ がこれに相当する。馬場さんのページでは、DAQ に対するこの dead time $$ \tau$$ を transaction time と呼び、 測定時間に対する dead time $$\tau$$ の総和(の割合)を "dead time" と呼んでいるようだ。しかし、以下では 1 イベントに対して生じる不感時間を dead time $$\tau$$ として書いてしまったので、それに従う。

  • Live time の定義
    • Live time の本来の定義は、測定時間 (sec) の内の dead time (sec) 以外の時間であると思うが、これでは使い勝手が悪い。ここでは、dead time (sec) 以外の時間が測定時間 (sec) に占める割合を live time と呼ぶ。即ち、測定時間内に、もう 1 イベントを追加で発生させたとき、そのイベントがアクセプトされる確率が live time と言うこともできる。単位は無次元、または %。

Live time とアクセプトされるイベント数(の割合)の関係

  • "Live time" と "アクセプトされるイベント数の割合" $$\frac{N^\prime}{N}$$は等しい:

    • Live time (%) = $$\frac{N^\prime}{N} \times 100$$

    • $$ N$$ : Total event rate (sec-1)

    • $$N^\prime$$ : Accepted event rate (sec-1).

  • 導出
    • $$\frac{N^\prime}{N}=f(N)$$ と置くと、$$N^\prime=Nf(N)$$ と変形できる(例えば、DAQ の dead time を考える場合(下記参照)、$$f(N) = \frac{1}{1+N\tau}$$ となる)。すなわち、$$N$$ 個のイベントが来たとき、アクセプトされるイベント数は $$Nf(N)$$ となる。よって、$$f(N)$$ はある一つのイベントがアクセプトされる確率を表す。一方、ある一つのイベントがアクセプトされる確率は、live time に等しくなる (上述の "Live time の定義"の項目参照)。(正確には、注目するある一つのイベントを抜いて考えた時の live time と、そのイベントがアクセプトされる確率が等しくなる。しかし、測定時間が十分に長い場合、一つのイベントを抜いて考えた時の live time と抜かないときの live time はほぼ等しくなる(はず)。)よって、live time = $$f(N)=\frac{N^\prime}{N}$$

Detector と DAQ の dead time

  • Detector (イオンチェンバー、シンチレータなどの検出器) の dead time と DAQ (data acquisition system、データ収集系) の dead time は性質が異なるため、分けて考えなければならない。下図のように、detector の dead time はアクセプトされないイベントに対しても発生するのに対し、DAQ の dead time はアクセプトされたイベントに対してのみ発生する。
    • Deadtime_fig.ver0.01.png

  • これより、全イベントレート $$N$$ (sec-1) が無限大の場合、dead time を $$\tau$$ (sec) とすると、アクセプトされるイベントレートは detector と DAQ に対して以下のようになる。

    • Detector の accepted event rate : 0 に収束 ( detector が鳴りっぱなしで、アクセプトされるイベントなし)
    • DAQ の accepted event rate : $$\frac{1}{\tau}$$ に収束 ( DAQ の dead time が終わった瞬間に、次のイベントがアクセプトされる)

Detector の live time

  • Live time : $$\frac{N^\prime}{N} = e^{-N\tau}$$

    • $$N$$ : Total event rate (sec-1)

    • $$N^\prime$$ : Accepted event rate (sec-1)

    • $$\tau$$ : Transaction time (Dead time) (sec)

  • 導出
    • ある時間 $$T$$ の間に 1 イベントが来たとき、時間 $$T$$ に対する dead time ($$\tau$$) と dead time 以外の時間 ($$T-\tau$$) の割合はそれぞれ $$\frac{\tau}{T}$$, $$1-\frac{\tau}{T}$$(下図参照)。ある時間 $$T$$ の間に 2 イベントが来たとき、時間 $$T$$ に対する dead time 以外の時間の割合の平均は、1 イベントの場合の割合 $$1-\frac{\tau}{T}$$ に、$$1-\frac{\tau}{T}$$ を掛ればよい(下図参照)ので、$$\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^2$$。Total event rate が $$N$$ のとき、ある時間 $$T$$ の間に来るイベントの数は $$NT$$。このとき、時間 $$T$$ に対する dead time 以外の時間の割合の平均は $$\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT}$$ (下図参照)。

      • det_dead_explanation.png

    • Total event rate が $$N$$ のとき、ある一つのイベントに注目する。そのイベントが他の $$NT -1 $$ 個のイベントの dead time 中に発生しない確率は、$$NT -1 $$ 個のイベントの dead time 以外の時間の割合を考えて、$$\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$$。すなわち、ある1つのイベントがアクセプトされる確率は $$\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$$。すべてのイベントはランダムに発生するので、すべてのイベントに対して同じことが言える。よって、ある時間 $$T$$ の間にアクセプトされるイベント数 $$N^\prime T$$$$NT\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$$ となる。これより、ある時間 $$T$$ の間にアクセプトされるイベント数の割合 $$\frac{N^\prime}{N}$$$$\frac{N^\prime}{N} = \left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$$となる。$$T \rightarrow \infty$$ とすれば、求める割合 $$\frac{N^\prime}{N}$$ が導出できる。

    • $$ \frac{N^\prime}{N} = \lim_{T \to \infty} \left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$$

    • $$ e^x= \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n $$より、

    • $$ \frac{N^\prime}{N} = e^{-N\tau}$$.

DAQ の live time

  • Live time : $$\frac{N^\prime}{N}=\frac{1}{1+N\tau}$$

    • $$N$$ : Total event rate (sec-1)

    • $$N^\prime$$ : Accepted event rate (sec-1)

    • $$\tau$$ : Transaction time (Dead time) (sec)

  • 導出
    • ある一つのアクセプトされたイベントを考えたとき、そのイベントの dead time ($$\tau$$) 中に来るアクセプトされないイベントの数の平均は $$N\tau$$(下図参照)。これより、$${1+N\tau}$$ イベント中、平均 1 イベントがアクセプトされることがわかる。よって、アクセプトされるイベントの割合 (= live time) $$\frac{N^\prime}{N}$$$$\frac{1}{1+N\tau}$$

      • daq_dead_explanation.png

    • また、 $$\frac{N^\prime}{N} = 1-N^\prime \tau$$からも導出できる。アクセプトされるイベントのレート × dead time = $$N^\prime\tau$$ が死んでいる割合。

    • ちなみに、$$\frac{N^\prime}{N} = 1-N^\prime \tau$$ を変形すると、$$\frac{1}{N^\prime} - \frac{1}{N}= \tau$$ となる。

Detector の accepted event rate のプロット

  • デッドタイムが 0.1, 1, 10, 100 μs の場合の detector の accepted event rate : $$N^\prime = Ne^{-N\tau}$$ をプロットすると、以下のようになる。$$N = \frac{1}{\tau}$$ で最大値 $$N^\prime = \frac{N}{e}$$ となる。

  • accepted_det.png

  • プロットは accepted_det.kumac を用いて行った。

DAQ の accepted event rate のプロット

  • デッドタイムが 100, 200, 500, 1000 μs の場合の DAQ の accepted event rate (gated rate) : $$N^\prime = \frac{N}{1+N\tau}$$ をプロットすると、以下のようになる。

  • accepted_daq.png

  • プロットは accepted_daq.kumac を用いて行った。

Detector の live time のプロット

  • 線は $$\frac{N^\prime}{N} = e^{-N\tau}$$ の計算値をプロットしたもので、点はシミュレーション結果をプロットしたもの。横軸がイベントレート N で縦軸が ライブタイム N'/N。デッドタイムが 0.1, 1, 10, 100 μs の場合を計算した。シミュレーションでは、指数関数の分布を持つ乱数を発生させ、live time を求めた。

  • livetime_det.png

  • プロットは livetime_det.kumac を用いて行った。

DAQ の live time のプロット

  • 線は $$\frac{N^\prime}{N} = \frac{1}{1+N\tau}$$ の計算値をプロットしたもので、点はシミュレーション結果をプロットしたもの。横軸がイベントレート N で縦軸が ライブタイム N'/N。デッドタイムが 100, 200, 300, 500, 700, 1000 μs の場合を計算した。シミュレーションでは、指数関数の分布を持つ乱数を発生させ、live time を求めた。

  • livetime_daq_emu.png livetime_daq.png

  • プロットは livetime_daq_emu.kumac, livetime_daq.kumac を用いて行った。

ランダムイベント

  • ランダムイベント間の時間間隔 $$t$$ の確率密度分布 : $$ P(t) = Re^{-Rt}$$

    • R : イベントレート (count/sec)
    • t : ランダムイベント間の時間間隔 (sec)
      • 導出
      • ある時間 T の間に発生するランダムイベントの数は RT。
      • RT イベントのうち、ある一つのイベントが時刻 t 秒の Δt 秒間 に発生し、かつ他のイベント(RT-1 個)がそれ以降の時間 T-t に発生するという確率は、
        • $$ \frac{\Delta t}{T} \left(\frac{T-t}{T}\right)^{RT-1}$$.

      • スタート (t = 0) から t 秒間イベントが発生せず、任意のイベントが t 秒後の Δt 秒間 に発生する確率は、上式を RT 倍して、
        • $$ RT\frac{\Delta t}{T} \left(\frac{T-t}{T}\right)^{RT-1} = R\Delta t \left(1-\frac{t}{T}\right)^{RT-1}$$.

      • T を 無限大とすると、ランダムイベント間の時間が t 秒のときの Δt 秒間に発生する確率 P(t)Δt ( = 最初のイベントが時刻 t 秒から t + Δt 秒の Δt 秒間に発生する確率 P(t)Δt) に等しいので、
        • $$ P(t)\Delta t = \lim_{T \to \infty} R\Delta t \left(1-\frac{t}{T}\right)^{RT-1} $$

        • $$ \Leftrightarrow P(t)=  R \left(\lim_{T \to \infty}\left(1+\frac{-t}{T}\right)^T\right)^R\lim_{T \to \infty} \left(1-\frac{t}{T}\right)^{-1} $$.

      • $$ e^x= \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n $$より、

        • $$ P(t) = Re^{-Rt}$$.

確率変数の変換

  • 確率変数の変換式 t = f(x) を求める。ここで、
    • x は一様分布に従う
    • t は確率密度分布 P(t) に従う
  • とする。
  • 導出
  • t から t + Δt の間の確率は変換前の x から x + Δx の間の確率に等しいので、
    • $$\int_{t}^{t+\Delta t}P(t)dt=f^{-1}(t+\Delta t)-f^{-1} (t)$$

  • $$ \int P(t)dt = \tilde{P}(t) $$ とすると、

    • $$ \tilde{P}(t+\Delta t)-\tilde{P}(t)=f^{-1}(t+\Delta t)-f^{-1} (t)$$

  • より、
    • $$ f(x) = \tilde{P}^{-1}(x)$$

sunday

Gamma exp. - RUN1061

Host

Dead time

TRG-IN delay

driver

ccnet01

168 us

40 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28

ccnet02

135 us

30 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday

ccnet03

136 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday

ccnet04

164 us

51 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday

ccnet05

164 us

25 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all

ccnet06

155 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all

ccnet07

116 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all

ccnet08

120 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter

ggdaq03

55 - 120 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10

vmi03

45 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday

total

168 us ?

-

  • Ungated: 876 cps, Gated: 755 cps, Live time: 86.2 % (cal: 87.2 %)

Gamma exp. - RUN1121

Host

Dead time

TRG-IN delay

driver

ccnet01

168 us

40 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28

ccnet02

137 us

30 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday

ccnet03

137 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday

ccnet04

165 us

51 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday

ccnet05

166 us

25 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all

ccnet06

156 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all

ccnet07

117 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all

ccnet08

120 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter

ggdaq03

55 - 62 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10

vmi03

35 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday

total

169 us

-

  • Ungated: 727 cps, Gated: 644 cps, Live time: 88.6 % (cal: 89.1 %)

Gamma exp. - RUN1156 2010/12/16 5:29

Host

Dead time

TRG-IN delay

driver

ccnet01

168 us

40 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28

ccnet02

135 us

30 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday

ccnet03

135 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday

ccnet04

164 us

51 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday

ccnet05

164 us

25 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all

ccnet06

155 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all

ccnet07

116 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all

ccnet08

129 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter

ggdaq03

53 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10

vmi03

32 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday

total

168 us

-

  • Ungated: 72.0 cps, Gated: 71.2 cps, Live time: 98.9 % (cal: 98.8 %)

Gamma exp. - RUN1184 2010/12/17 ~4:20

ID

Hostname &
Nickname

Dead
time

TRG-IN
delay

driver (rtdrv)

21

ccnet01

168 us

40 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28

22

ccnet02

135 us

30 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday

23

ccnet03

135 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday

24

ccnet04

162 us

50 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday

25

ccnet05

164 us

25 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all

26

ccnet06

155 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all

27

ccnet07

116 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all

28

ccnet08

120 us

? us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter

33

ssm

-

-

?:/usr/babirl/babiscr/babiscr

37

vmi03

33-46 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday

47

ggdaq03

53-80 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10

-

total

168 us

-

  • Ungated: 388 cps, Gated: 362 cps, Live time: 93.5 % (cal: 93.9 %)
  • ssm driver : /usr/babirl/babiscr/babiscr

After end of run 2010/12/17 ~10:27

ID

Hostname &
Nickname

Dead
time

TRG-IN
delay

driver (rtdrv)

21

ccnet01

168 us

40 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28

22

ccnet02

135 us

30 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday

23

ccnet03

135 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday

24

ccnet04

163 us

50 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday

25

ccnet05

164 us

25 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all

26

ccnet06

155 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all

27

ccnet07

116 us

49 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all

28

ccnet08

120 us

56 us

g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter

33

ssm

-

-

?:/usr/babirl/babiscr/babiscr

37

vmi03

26 us

-

g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday

-

total

168 us

-

  • Clock trigger
  • Ungated: 1.00 kcps, Gated: 1.00 kcps, Live time: 100 %
  • ssm driver : /usr/babirl/babiscr/babiscr
  • IC7 gate: 18.5 us
  • ID11 gate: 6.5 us
  • LaBr3 gate: P7188@F11 2.9 us