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Dipole strength distribution

Dipole strength distribution

公式

  • $$ k > 0,\  a > 0,\ \ell' > 0,\ \ell > 0,\ |\ell-\ell' | = 1$$ に対して、

    •  

    • $$ \int_{0}^{\infty} j_{\ell'}(kr)h_\ell^{(1)}(iar)r^3dr = -2(-i)^\ell \frac{k^{\ell'}}{a^{\ell'+4}} \frac{\Gamma ((\ell' - \ell +3)/2) \Gamma ((\ell' + \ell +4)/2)}{\Gamma (\ell'+3/2)}  {}_2F_1\left(\frac{\ell' - \ell +3}{2},\frac{\ell' + \ell +4}{2}; \ell'+\frac{3}{2}; -\frac{k^2}{a^2} \right).$$

    •  

  • $$ k > 0,\  a > 0,\ \ell > 0$$ に対して、

    •  

    • \begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\infty} j_{\ell+1}(kr)h_\ell^{(1)}(iar)r^3dr
&=& -2(-i)^\ell \frac{k^{\ell+1}}{a^{\ell+5}} \frac{\Gamma (2)\Gamma (\ell+5/2)}{\Gamma (\ell+5/2)} {}_2F_1\left(2,\ell+\frac{5}{2}; \ell+\frac{5}{2}; -\frac{k^2}{a^2} \right) \\
&=& -2(-i)^\ell \frac{k^{\ell+1}}{a^{\ell+1}} \frac{1}{(a^2+k^2)^2}, \\[2.0ex]
\int_{0}^{\infty} j_{\ell-1}(kr)h_\ell^{(1)}(iar)r^3dr
&=& -2(-i)^\ell \frac{k^{\ell-1}}{a^{\ell+3}} \frac{\Gamma (1)\Gamma (\ell+3/2)}{\Gamma (\ell+1/2)} {}_2F_1\left(1,\ell+\frac{3}{2}; \ell+\frac{1}{2}; -\frac{k^2}{a^2} \right) \\
&=& -(-i)^\ell \frac{k^{\ell-1}}{a^{\ell+1}} \frac{(2\ell-1)k^2+(2\ell+1)a^2}{(a^2+k^2)^2}.
\end{eqnarray*}

    •  

  • k > 0, a > 0 に対して、

    •  

    • \begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\infty} j_1(kr)h_2^{(1)}(iar)r^3dr &=& \frac{k(5a^2+3k^2)}{a^3(a^2+k^2)^2} \\
\int_{0}^{\infty} j_3(kr)h_2^{(1)}(iar)r^3dr &=& \frac{2k^3}{a^3(a^2+k^2)^2} \\
\int_{0}^{\infty} j_2(kr)h_3^{(1)}(iar)r^3dr &=& -\frac{ik^2(7a^2+5k^2)}{a^4(a^2+k^2)^2} \\
\int_{0}^{\infty} j_4(kr)h_3^{(1)}(iar)r^3dr &=& \frac{2ik^4}{a^4(a^2+k^2)^2} \\
\int_{0}^{\infty} j_3(kr)h_4^{(1)}(iar)r^3dr &=& -\frac{k^3(9a^2+7k^2)}{a^5(a^2+k^2)^2} \\
\int_{0}^{\infty} j_5(kr)h_4^{(1)}(iar)r^3dr &=& -\frac{2k^5}{a^5(a^2+k^2)^2}
\end{eqnarray*}

ノート

  • Mathematica で積分を計算

    •  

    • Mathematica では k > 0, a > 0 に対する $$ \int_{0}^{\infty} j_1(kr)h_0^{(1)}(iar)r^3dr$$ を以下の式で計算可能。

      • Assuming[k > 0 && a > 0, Integrate[SphericalBesselJ[1, k*r]*SphericalHankelH1[0, I*a*r]*r^3, {r, 0, Infinity}]]
      • うまく計算できない場合は、第一種球ハンケル関数を一度展開して計算(下記参照)。
      • Assuming[k > 0 && a > 0, Integrate[SphericalBesselJ[1, k*r]*FunctionExpand[SphericalHankelH1[0, I*a*r]]*r^3, {r, 0, Infinity}]]
    • $$ k > 0,\  a > 0,\ \ell > 0,\ m > 0,\ |\ell-m | = 1$$ に対して $$ \int_{0}^{\infty} j_m(kr)h_\ell^{(1)}(iar)r^3dr$$ を計算するには、

      • Assuming[k > 0 && a > 0 && m > 0 && l > 0 && Abs[l - m] == 1, Integrate[FunctionExpand[SphericalBesselJ[m, k*r]*SphericalHankelH1[l, I*a*r]*r^3], {r, 0, Infinity}]]
    • とする。 m を $$\ell'$$ にするとなぜか計算できなかった。微分してしまっている?

    •  

  • 一般超幾何関数 (generalized hypergeometric functions) pFq

    •  

    • $$ {}_pF_q (a_1, a_2, ..., a_p ; b_1, b_2, ..., b_q ; x) =  \sum^{\infty}_{k=0} \frac{(a_1)_k(a_2)_k \cdots (a_p)_k}{(b_1)_k(b_2)_k \cdots (b_p)_k}\frac{x^k}{k!}.$$

    •  

    • ここで、(a)k はポッホハマー記号 (Pochhammer symbol) であり、

      •  

      • $$ (a)_k = \frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)} = a (a+1)\cdots(a+k-1).$$

      •  

    • ここで Γ(a) は ガンマ関数 であり、a > 0 に対しては、

      •  

      • $$ \Gamma(a) = (a-1)! .$$

      •  

    • また、p = 2, q = 1 の場合、

      •  

    • \begin{eqnarray*}
{}_2F_1 (a, b ; c ; x)
&=&\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{x^k}{k!} \\
&=&\sum^{\infty}_{k=0} \frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(b+k)}{\Gamma(b)}\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c+k)}\frac{x^k}{k!} \\
&=&\sum^{\infty}_{k=0} \frac{[a (a+1)\cdots(a+k-1)][(b (b+1)\cdots(b+k-1)]}{c (c+1)\cdots(c+k-1)}\frac{x^k}{k!}.
\end{eqnarray*}

    •  

  • 一般超幾何関数の特殊な場合

    •  

    • \begin{eqnarray*}
{}_2F_1\left(2,a;a;x\right)   &=& \frac{1}{(1-x)^2}, \\
{}_2F_1\left(1,a+1;a;x\right) &=& \frac{1}{a}\frac{(1-a)x+a}{(1-x)^2}, \\
{}_2F_1\left(1,\ell+\frac{3}{2};\ell+\frac{1}{2};x\right) &=& \frac{1}{(2\ell+1)}\frac{(1-2\ell)x+(2\ell+1)}{(1-x)^2}.
\end{eqnarray*}

    •  

  • ガンマ関数の割り算

    •  

    • \begin{eqnarray*}
\frac{\Gamma(\ell+1)}{\Gamma(\ell)}       &=& \ell, \\
\frac{\Gamma(\ell+3/2)}{\Gamma(\ell+1/2)} &=& \ell+\frac{1}{2}.
\end{eqnarray*}

    •  

  • 第一種球ハンケル関数 (参考: Spherical Hankel Function of the First Kind)

    •  

    • \begin{eqnarray*}
h_n^{(1)}(z) &\equiv& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}H^{(1)}_{n+1/2}(z) \\
&=& j_n(z)+in_n(z)
\end{eqnarray*}

    •  

  • 第一種球ベッセル関数 (参考: Spherical Bessel Function of the First Kind)

    •  

    • $$ j_\nu(z) \equiv \sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\nu+1/2}(z)$$

    •  

  • 第二種球ベッセル関数 (参考: Spherical Bessel Function of the Second Kind)

    •  

    • \begin{eqnarray*}
n_\nu(z) &\equiv& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}N_{\nu+1/2}(z)\\
{\rm or} \\
y_\nu(z) &\equiv& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}Y_{\nu+1/2}(z)
\end{eqnarray*}

    •  

  • 計算(その1)

    •  

    • \begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\infty} j_{\ell'}(kr)h_\ell^{(1)}(iar)r^3dr
&=& \int_{0}^{\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2kr}}J_{\ell'+1/2}(kr) \sqrt{\frac{\pi}{2iar}}H^{(1)}_{\ell+1/2}(iar)r^3dr \\
&=& \frac{\pi}{2\sqrt{iak}} \int_{0}^{\infty}  J_{\ell'+1/2}(kr)H^{(1)}_{\ell+1/2}(iar) r^2dr \\
&=& \frac{\pi}{2\sqrt{iak}} \left[- 4(-i)^{\ell} \frac{\sqrt{iak}}{\pi} \frac{k^{\ell'} }{a^{\ell'+4}} \frac{\Gamma ((\ell' - \ell +3)/2) \Gamma ((\ell' + \ell +4)/2)}{\Gamma (\ell'+3/2)}  {}_2F_1\left(\frac{\ell' - \ell +3}{2},\frac{\ell' + \ell +4}{2}; \ell'+\frac{3}{2}; -\frac{k^2}{a^2} \right)\right] \\
&=& - 2 (-i)^{\ell} \frac{k^{\ell'} }{a^{\ell'+4}} \frac{\Gamma ((\ell' - \ell +3)/2) \Gamma ((\ell' + \ell +4)/2)}{\Gamma (\ell'+3/2)}  {}_2F_1\left(\frac{\ell' - \ell +3}{2},\frac{\ell' + \ell +4}{2}; \ell'+\frac{3}{2}; -\frac{k^2}{a^2} \right)
\end{eqnarray*}

    •  

    • ここで、
    •  

      • $$ \int_{0}^{\infty}  J_m(kr)H^{(1)}_n(iar) r^2dr = - 4(-i)^{n-1} \frac{1}{\pi} \frac{k^m }{a^{m+3}} \frac{\Gamma ((m-n+3)/2) \Gamma ((m+n+3)/2)}{\Gamma (m+1)}  {}_2F_1\left(\frac{m-n+3}{2},\frac{m+n+3}{2}; m+1; -\frac{k^2}{a^2} \right)$$

    •  

    • を使った。
    •  

  • 計算(その2)

    •  

    • \begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\infty} j_1(kr)h_0^{(1)}(iar)r^3dr
&=& \int_{0}^{\infty} \frac{1}{k^2r^2}\left[ \sin(kr)-kr\cos(kr) \right] \left[ -\frac{e^{-ar}}{ar}\right]r^3dr \\
&=& -\frac{1}{ak^2}\int_{0}^{\infty} e^{-ar}\sin(kr)-kre^{-ar}\cos(kr) dr \\
&=& -\frac{1}{ak^2}\left[ \frac{k}{a^2+k^2}-k\frac{a^2-k^2}{(a^2+k^2)^2} \right] \\
&=& -\frac{2k}{a(a^2+k^2)^2}
\end{eqnarray*}

    •  

  • 具体的な表式

    •  

    • \begin{eqnarray*}
j_0(x) &=& \frac{1}{x}\sin(x) \\
j_1(x) &=& \frac{1}{x^2}\left[ \sin(x)-x\cos(x) \right] \\
j_2(x) &=& \frac{1}{x^3}\left[ (3-x^2)\sin(x)-3x\cos(x) \right] \\
j_3(x) &=& \frac{1}{x^4}\left[ (15-6x^2)\sin(x)-(15x-x^3)\cos(x) \right] \\
j_4(x) &=& \frac{1}{x^5}\left[ (105-45x^2+x^4)\sin(x)-(105x-10x^3)\cos(x) \right] \\
j_5(x) &=& \frac{1}{x^6}\left[ (945-420x^2+15x^4)\sin(x)-(945x-105x^3+x^5)\cos(x) \right] \\[2.0ex]
n_0(x) &=& y_0(x) = -\frac{1}{x}\cos(x) \\
n_1(x) &=& y_1(x) = -\frac{1}{x^2}\left[ \cos(x)+x\sin(x) \right] \\
n_2(x) &=& y_2(x) = -\frac{1}{x^3}\left[ (3-x^2)\cos(x)+3x\sin(x) \right] \\
n_3(x) &=& y_3(x) = -\frac{1}{x^4}\left[ (15-6x^2)\cos(x)+(15x-x^3)\sin(x) \right] \\
n_4(x) &=& y_4(x) = -\frac{1}{x^5}\left[ (105-45x^2+x^4)\cos(x)+(105x-10x^3)\sin(x) \right] \\
n_5(x) &=& y_5(x) = -\frac{1}{x^6}\left[ (945-420x^2+15x^4)\cos(x)+(945x-105x^3+x^5)\sin(x) \right] \\[2.0ex]
h^{(1)}_0(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x} \\
h^{(1)}_1(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^2}(1-ix) \\
h^{(1)}_2(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^3}(3-3ix-x^2) \\
h^{(1)}_3(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^4}(15-15ix-6x^2+ix^3) \\
h^{(1)}_4(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^5}(105-105ix-45x^2+10ix^3+x^4) \\
h^{(1)}_5(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^6}(945-945ix-420x^2+105ix^3+15ix^4+x^5) \\[2.0ex]
h^{(1)}_0(ix) &=& -\frac{e^{-x}}{x} \\
h^{(1)}_1(ix) &=& i\frac{e^{-x}}{x^2}(1+x) \\
h^{(1)}_2(ix) &=& \frac{e^{-x}}{x^3}(3+3x+x^2) \\
h^{(1)}_3(ix) &=& -i\frac{e^{-x}}{x^4}(15+15x+6x^2+x^3) \\
h^{(1)}_4(ix) &=& -\frac{e^{-x}}{x^5}(105+105x+45x^2+10x^3+x^4) \\
h^{(1)}_5(ix) &=& i\frac{e^{-x}}{x^6}(945+945x+420x^2+105x^3+15x^4+x^5) 
\end{eqnarray*}

      \begin{eqnarray*}
j_0(x) &=& \frac{1}{x}\sin(x) \\
j_1(x) &=& \frac{1}{x^2}\left[ \sin(x)-x\cos(x) \right] \\
j_2(x) &=& \frac{1}{x^3}\left[ (3-x^2)\sin(x)-3x\cos(x) \right] \\
j_3(x) &=& \frac{1}{x^4}\left[ (15-6x^2)\sin(x)-(15x-x^3)\cos(x) \right] \\
j_4(x) &=& \frac{1}{x^5}\left[ (105-45x^2+x^4)\sin(x)-(105x-10x^3)\cos(x) \right] \\
j_5(x) &=& \frac{1}{x^6}\left[ (945-420x^2+15x^4)\sin(x)-(945x-105x^3+x^5)\cos(x) \right] \\[2.0ex]
n_0(x) &=& y_0(x) = -\frac{1}{x}\cos(x) \\
n_1(x) &=& y_1(x) = -\frac{1}{x^2}\left[ \cos(x)+x\sin(x) \right] \\
n_2(x) &=& y_2(x) = -\frac{1}{x^3}\left[ (3-x^2)\cos(x)+3x\sin(x) \right] \\
n_3(x) &=& y_3(x) = -\frac{1}{x^4}\left[ (15-6x^2)\cos(x)+(15x-x^3)\sin(x) \right] \\
n_4(x) &=& y_4(x) = -\frac{1}{x^5}\left[ (105-45x^2+x^4)\cos(x)+(105x-10x^3)\sin(x) \right] \\
n_5(x) &=& y_5(x) = -\frac{1}{x^6}\left[ (945-420x^2+15x^4)\cos(x)+(945x-105x^3+x^5)\sin(x) \right] \\[2.0ex]
h^{(1)}_0(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x} \\
h^{(1)}_1(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^2}(1-ix) \\
h^{(1)}_2(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^3}(3-3ix-x^2) \\
h^{(1)}_3(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^4}(15-15ix-6x^2+ix^3) \\
h^{(1)}_4(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^5}(105-105ix-45x^2+10ix^3+x^4) \\
h^{(1)}_5(x) &=& -i\frac{e^{ix}}{x^6}(945-945ix-420x^2+105ix^3+15ix^4+x^5) \\[2.0ex]
h^{(1)}_0(ix) &=& -\frac{e^{-x}}{x} \\
h^{(1)}_1(ix) &=& i\frac{e^{-x}}{x^2}(1+x) \\
h^{(1)}_2(ix) &=& \frac{e^{-x}}{x^3}(3+3x+x^2) \\
h^{(1)}_3(ix) &=& -i\frac{e^{-x}}{x^4}(15+15x+6x^2+x^3) \\
h^{(1)}_4(ix) &=& -\frac{e^{-x}}{x^5}(105+105x+45x^2+10x^3+x^4) \\
h^{(1)}_5(ix) &=& i\frac{e^{-x}}{x^6}(945+945x+420x^2+105x^3+15x^4+x^5) 
\end{eqnarray*}