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KobaWiki2

PRL77(1996)1016

Momentum Content of Single-Nucleon Halos

計算メモ

式 (1) 導出

\begin{eqnarray*} \frac{d3W}{dk_xdk_ydk_z}&=&|\hat{\psi}({\bf k})|2\\ &=&\hat{\psi}^*({\bf k})\hat{\psi}({\bf k}). \\ \end{eqnarray*} ここで \begin{eqnarray*} \hat{\psi}({\bf k}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\int\int \psi({\bf r}) \exp(i{\bf k}\cdot{\bf r})d{\bf r}\\ \end{eqnarray*} より \begin{eqnarray*} \frac{d3W}{dk_xdk_ydk_z}&=& \frac{1}{(2\pi){3/2}}\int\int\int\psi*({\bf r'}) \exp(-i{\bf k}\cdot{\bf r'})d{\bf r'}\cdot\frac{1}{(2\pi){3/2}}\int\int\int\psi({\bf r}) \exp(i{\bf k}\cdot{\bf r})d{\bf r}\\ &=& \frac{1}{(2\pi)3}\int\int\int\int\int\int\psi*({\bf r'})\psi({\bf r}) \exp[i{\bf k}\cdot({\bf r}-{\bf r'})]d{\bf r'}d{\bf r}\\ &=& \frac{1}{(2\pi)3}\int\int\int\int\int\int\psi*(x',y',z')\psi(x,y,z)\\ & & \times \exp[ik_x(x-x')]\exp[ik_y(y-y')]\exp[ik_z(z-z')]dxdydzdx'dy'dz'. \end{eqnarray*} これより、$\frac{d^3W}{dk_xdk_ydk_z}$ を $k_x,\ k_y$ で積分すると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW}{dk_z}&=&\int\int \frac{d^3W}{dk_xdk_ydk_z} dk_xdk_y\\ &=& \frac{1}{(2\pi)3}\int\int\int\int\int\int\int\int\psi*(x',y',z')\psi(x,y,z)\\ & & \times \exp[ik_x(x-x')]\exp[ik_y(y-y')]\exp[ik_z(z-z')]dxdydzdx'dy'dz'dk_xdk_y\\ &=& \frac{1}{2\pi}\int\int\int\int\int\int\psi^*(x',y',z')\psi(x,y,z)\exp[ik_z(z-z')]\\ & & \times \left(\frac{1}{2\pi} \int \exp[ik_x(x-x')]dk_x\right) \\ & & \times \left(\frac{1}{2\pi} \int \exp[ik_y(y-y')]dk_y\right)dxdydzdx'dy'dz' \\ \end{eqnarray*} ここでデルタ関数のフーリエ積分表示 \begin{eqnarray*} \delta(x-x') = \frac{1}{2\pi}\int \exp[ik(x-x')]dk\\ \end{eqnarray*} と、 \begin{eqnarray*} f(x) = \int f(x')\delta(x-x')dx' \end{eqnarray*} を用いれば(参考: EMANの物理学-超関数のフーリエ変換, NIST - DLMF - Integral and Series Representations of the Dirac Delta)、 \begin{eqnarray*} \frac{dW}{dk_z} &=&\frac{1}{2\pi}\int\int\int\int\int\int\psi^*(x',y',z')\psi(x,y,z)\exp[ik_z(z-z')]\\ & & \times\delta(x-x')\delta(y-y')dxdydzdx'dy'dz'\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int\int\int\int\psi^*(x,y,z')\psi(x,y,z)\exp[ik_z(z-z')]dxdydzdz'. \end{eqnarray*} これで式(1)が求まった。もっときれいに導出できそう。

式 (1) (書き換え)

式(1)を書きかえると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW}{dk_z} &=&\frac{1}{2\pi}\int\int \left[\int\psi^*(x,y,z')\exp(-ik_zz')dz'\right]\left[\int\psi(x,y,z)\exp(ik_zz)dz\right]dxdy\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int\int \left|\int\exp(ik_zz)\psi(x,y,z)dz\right|^2dxdy. \end{eqnarray*} さらに、z軸対称性 ($\psi(b,\varphi,z)=\psi(b,0,z)$) を仮定して、円筒座標で書きかえると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW}{dk_z} &=&\frac{1}{2\pi}\int_0{2\pi}\int_0\infty \left|\int\exp(ik_zz)\psi(b,\varphi,z)dz\right|^2 b\,db\,d\varphi\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int_0{2\pi}d\varphi\int_0\infty \left|\int\exp(ik_zz)\psi(b,0,z)dz\right|^2 b\,db\\ &=&\int_0\infty \left|\int\exp(ik_zz)\psi(b,0,z)dz\right|2 b\,db. \end{eqnarray*} (ここで $\psi$ の座標系が $(x,\ y,\ z)$ から $(b,\ \varphi,\ z)$ に変わっているので、本当は $\psi$ も違う記号に書き変えなければならないが、物理の慣習として座標系が変わっても同じ記号を用いる。)

式 (3) (導出できず)

$\psi(b,0,z)$ を $\psi_0(b,0,z)$ で置き換えると(?)、 \begin{eqnarray*} \psi(b,0,z) =

  • \left\{ \begin{array}{lll}
    • \psi_0(b,0,z) & {\rm for} & b \le R_a \\ 0 & {\rm for} & b > R_a \\

    \end{array} \right.

\end{eqnarray*} より(?)、 \begin{eqnarray*} \frac{dW}{dk_z} &=&\int_0{R_a} \left|\int\exp(ik_zz)\psi_0(b,0,z)dz\right|2 b\,db. \end{eqnarray*} ここからどうやって \begin{eqnarray*} \frac{dW}{dk_z} \simeq \frac{\sigma_T}{2\pi}\left|\int\exp(-ik_zz)\psi_0(b,0,z)dz\right|^2 \end{eqnarray*} がでるんだろう?

式 (4)

正しくは \begin{eqnarray*} \psi_0({\bf r}) = B\kappa^{3/2}h_l(i\kappa r)Y_{lm}(\vartheta,\varphi) \end{eqnarray*} では?ただし $h_l(i\kappa r)$ は 第一種球ハンケル関数であり、通常 $h^{(1)}_l(i\kappa r)$ と書く。$l=0$ の場合、湯川型の関数となる: \begin{eqnarray*} h_l(i\kappa r) = -\frac{e^{-\kappa r}}{\kappa r}. \end{eqnarray*}

式 (4) の B について

$B>0$ として $\int \left|\psi_0({\bf r})\right|^2d{\bf r}$ を計算すると \begin{eqnarray*} \int \left|\psi_0({\bf r})\right|^2d{\bf r} &=&\int_0{2\pi}\int_0\pi\int_0\infty \left|B\kappa{3/2}h_l(i\kappa r)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)\right|2r2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi\\ &=&B2\kappa3\int_0\infty \left|h_l(i\kappa r)\right|2r2\,dr \int_0{2\pi}\int_0\pi \left|Y_{l,m}(\vartheta,\varphi)\right|2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi\\ &=&B2\kappa3\int_0\infty \left|h_l(i\kappa r)\right|2r^2\,dr\\ \end{eqnarray*} となる。ここで \begin{eqnarray*} \int_0{2\pi}\int_0\pi \left|Y_{lm}(\vartheta,\varphi)\right|^2\,\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi = 1 \end{eqnarray*} を用いた(参考: NIST DLMF - Spherical and Spheroidal Harmonics)。 $l=0$ の場合、規格化条件 \begin{eqnarray*} \int \left|\psi_0({\bf r})\right|^2d{\bf r}=1 \end{eqnarray*} を満たすには、 \begin{eqnarray*} \int_0\infty \left|h_l(i\kappa r)\right|2r^2dr =

  • \left\{ \begin{array}{lll}
    • \frac{1}{2\kappa^3} & {\rm for} & l=0 \\ \infty & {\rm for} & l>0

    \end{array} \right.

\end{eqnarray*} (参考: WolframAlpha) を用いると \begin{eqnarray*} B=\sqrt{2} \end{eqnarray*} でなければならない。

式 (5) 導出

$l=0$ のとき \begin{eqnarray*} h_0(i\kappa r) &=& -\frac{\exp(-\kappa r)}{\kappa r} \\ Y_{0,0}(\vartheta,\varphi) &=& \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \end{eqnarray*} より(参考: 第一種球ハンケル関数, 球面調和関数)、式 (4) は \begin{eqnarray*} \psi_0({\bf r}) &=&\frac{-B\kappa^{3/2}}{\sqrt{4\pi}}\frac{\exp(-\kappa r)}{\kappa r}\\ &=&\frac{-B\sqrt{\kappa}}{\sqrt{4\pi}}\frac{\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})}{\sqrt{b2+z2}} \end{eqnarray*} となる。これを式(3)に代入すると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_0}{dk_z} &\simeq& \frac{\sigma_T}{2\pi}\left|\int_{-\infty}\infty\exp(-ik_xz)\frac{-B\sqrt{\kappa}}{\sqrt{4\pi}}\frac{\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})}{\sqrt{b2+z2}}dz\right|2\\ &=&\frac{\sigma_TB2\kappa}{8\pi2}\left|\int_{-\infty}\infty[\cos k_zz-i\sin k_zz]\frac{\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})}{\sqrt{b2+z2}}dz\right|2 \end{eqnarray*} となる。$\cos k_zz,\ \frac{\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})}{\sqrt{b2+z2}}$ が偶関数、$\sin k_zz$が奇関数であから、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_0}{dk_z} &\simeq& \frac{\sigma_TB2\kappa}{2\pi2}\left[\int_{0}\infty\cos k_zz\frac{\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})}{\sqrt{b2+z2}}dz\right]2 \end{eqnarray*} となる。I. S. Gradshteyn and M. Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products (Academic Press, New York, 1965), 4th ed., p. 498. Sect. 3.961 の式 \begin{eqnarray*} \int_0\infty \exp\left[-\beta\sqrt{\gamma2+x2}\right]\cos ax \frac{dx}{\sqrt{\gamma2+x^2}} =K_0\left(\gamma\sqrt{a2+\beta2}\right)\\ \left[{\rm Re}\ \beta>0,\ {\rm Re}\ \gamma>0,\ a>0\right] \end{eqnarray*} より \begin{eqnarray*} \frac{dW_0}{dk_z} &\simeq& \frac{\sigma_TB2\kappa}{2\pi2}K_02(\chi),\ \ {\rm where} \ \ \chi = b\sqrt{\kappa2+k_z^2} \end{eqnarray*} となる。これで式(5)が求まった。

式 (6) 導出の準備

I. S. Gradshteyn and M. Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products (Academic Press, New York, 1965), 4th ed., p. 498. Sect. 3.961 の式 \begin{eqnarray*} \int_0\infty \exp\left[-\beta\sqrt{\gamma2+x2}\right]\sin ax \frac{xdx}{\sqrt{\gamma2+x^2}} &=&\frac{a\gamma}{\sqrt{a2+\beta2}}K_1\left(\gamma\sqrt{a2+\beta2}\right)\\ &&\left[{\rm Re}\ \beta>0,\ {\rm Re}\ \gamma>0,\ a>0\right],\\ \int_0\infty \exp\left[-\beta\sqrt{\gamma2+x2}\right]\cos ax \frac{dx}{\sqrt{\gamma2+x^2}} &=&K_0\left(\gamma\sqrt{a2+\beta2}\right)\\ &&\left[{\rm Re}\ \beta>0,\ {\rm Re}\ \gamma>0,\ a>0\right] \end{eqnarray*} の両辺を $\gamma$ で微分すると、

\begin{eqnarray*} \int_0\infty \sin ax\frac{x\gamma\exp\left[-\beta\sqrt{\gamma2+x2}\right]\left(\beta\sqrt{\gamma2+x2}+1\right)}{(\gamma2+x2){3/2}}dx &=&a\gamma K_0\left(\gamma\sqrt{a2+\beta2}\right)\\ &&\left[{\rm Re}\ \beta>0,\ {\rm Re}\ \gamma>0,\ a>0\right],\\ \int_0\infty \cos ax \frac{\gamma\exp\left[-\beta\sqrt{\gamma2+x2}\right]\left(\beta\sqrt{\gamma2+x2}+1\right)}{(\gamma2+x2){3/2}}dx &=&\sqrt{a2+\beta2}K_1\left(\gamma\sqrt{a2+\beta2}\right)\\ &&\left[{\rm Re}\ \beta>0,\ {\rm Re}\ \gamma>0,\ a>0\right] \end{eqnarray*} が求まる。ここで、 \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x K_1(x) &=& -x K_0(x)\\ \frac{d}{dx} K_0(x) &=& -K_1(x) \end{eqnarray*} を用いた。微分は WolframAlpha で確認できる。

式 (6) 導出 (おしい所まで行った)

$l=1$ のとき \begin{eqnarray*} h_1(i\kappa r) &=& i\frac{\exp(-\kappa r)(\kappa r+1)}{(\kappa r)^2} \\ Y_{1,0}(\vartheta,\varphi) &=& \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\vartheta\\ Y_{1,\pm 1}(\vartheta,\varphi) &=& \mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\vartheta\exp(\pm i\varphi) \end{eqnarray*} となる(参考: 第一種球ハンケル関数, 球面調和関数)。$m=0$ のとき式 (4) は \begin{eqnarray*} \psi_0({\bf r}) &=&iB\kappa{3/2}\frac{\exp(-\kappa r)(\kappa r+1)}{(\kappa r)2}\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\vartheta\\ &=&\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{iB}{\sqrt{\kappa}}\frac{z\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2)^{3/2}}\\ \end{eqnarray*} となる。これを式(3)に代入すると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} &\simeq& \frac{\sigma_T}{2\pi}\left|\int_{-\infty}\infty\exp(-ik_xz)\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{iB}{\sqrt{\kappa}}\frac{z\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2){3/2}}dz\right|^2\\ &=&\frac{3\sigma_TB2}{8\pi2\kappa}\left|\int_{-\infty}\infty[\cos k_zz-i\sin k_zz]\frac{z\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2){3/2}}dz\right|^2 \end{eqnarray*} となる。偶関数と奇関数に注目すれば、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} \simeq \frac{3\sigma_TB2}{2\pi2\kappa}\left[\int_0\infty\sin k_zz\frac{z\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2){3/2}}dz\right]^2 \end{eqnarray*} となる。上で求めた式を用いると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} \simeq \frac{3\sigma_TB2}{2\pi2\kappa}k_z2K_02(\chi), \ \ {\rm where} \ \ \chi = b\sqrt{\kappa2+k_z2} \end{eqnarray*} となる。 $m=1$ のとき式 (4) は \begin{eqnarray*} \psi_0({\bf r}) &=&-iB\kappa{3/2}\frac{\exp(-\kappa r)(\kappa r+1)}{(\kappa r)2}\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\vartheta \exp(i\varphi)\\ &=&-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\frac{iB}{\sqrt{\kappa}}\frac{b\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2)^{3/2}} \exp(i\varphi)\\ \end{eqnarray*} となる。これを式(3)に代入すると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} &\simeq& \frac{\sigma_T}{2\pi}\left|\int_{-\infty}\infty-\exp(-ik_xz)\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\frac{iB}{\sqrt{\kappa}}\frac{b\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2){3/2}}\exp(i\varphi)dz\right|^2\\ &=&\frac{3\sigma_TB2}{16\pi2\kappa}\left|\int_{-\infty}\infty[\cos k_zz-i\sin k_zz]\frac{b\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2){3/2}}dz\right|^2 \end{eqnarray*} となる。偶関数と奇関数に注目すれば、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} \simeq \frac{3\sigma_TB2}{4\pi2\kappa}\left[\int_0\infty\cos k_zz\frac{b\exp(-\kappa \sqrt{b2+z2})(\kappa \sqrt{b2+z2}+1)}{(b2+z2){3/2}}dz\right]^2 \end{eqnarray*} となる。上で求めた式を用いると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} \simeq \frac{3\sigma_TB2}{4\pi2\kappa}\left(k_z2+\kappa2\right)K_1^2(\chi), \ \ {\rm where} \ \ \chi = b\sqrt{\kappa2+k_z2} \end{eqnarray*} となる。$m=-1$ のときも同様に計算でき、$m=1$ のときと同じ結果となる。よって、$m=0,\pm1$ の場合をすべてたし合わせると、 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} \simeq \frac{3\sigma_TB2}{2\pi2\kappa}\left[k_z2K_02(\chi)+\left(k_z2+\kappa2\right)K_1^2(\chi)\right], \ \ {\rm where} \ \ \chi = b\sqrt{\kappa2+k_z2} \end{eqnarray*} となり、論文の式 (6) より 3 倍大きくなる。なんで?3 つの場合を足し合わせてるから単純にその平均を取れば良い?とりあえず、3 で割れば式 (6) が出る。 \begin{eqnarray*} \frac{dW_1}{dk_z} \simeq \frac{\sigma_TB2}{2\pi2\kappa}\left[k_z2K_02(\chi)+\left(k_z2+\kappa2\right)K_1^2(\chi)\right], \ \ {\rm where} \ \ \chi = b\sqrt{\kappa2+k_z2}. \end{eqnarray*}

式 (7), (8) 導出の準備

  • $x K_02(x)$ の積分 : [[http://m.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[x*(BesselK[0%2Cx])2%2Cx]|WolframAlpha]]

  • $x K_12(x)$ の積分 : [[http://m.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[x*(BesselK[1%2Cx])2%2Cx]|WolframAlpha]]

上の WolframAlpha の結果を参考にすると、 \begin{eqnarray*} \int xK_02(x)dx &=& \frac{1}{2}x2\left(K_02(x)-K_12(x)\right)\\ \int xK_12(x)dx &=& \frac{1}{2}x2\left(K_1^2(x)-K_0(x)K_2(x)\right)\\ &=&\frac{1}{2}x2\left(K_12(x)-\left(K_2(x)-\frac{1}{x}K_1(x)\right)K_2(x)\right)\\ &=&\frac{1}{2}x2\left(K_12(x)-K_2^2(x)+\frac{1}{x}K_1(x)K_2(x)\right) \end{eqnarray*} ここで \begin{eqnarray*} &&e{(\nu-1)\pi i}K_{\nu-1}(x)-e{(\nu+1)\pi i}K_{\nu+1}(x)=\frac{\nu}{x}e^{\nu\pi i}K_\nu(x)\\ &&\Rightarrow K_0(x)=K_2(x)-\frac{1}{x}K_1(x) \end{eqnarray*} を用いた (参考: NIST DLMF - Modified Bessel Functions)。これより \begin{eqnarray*} \chi &=& b\sqrt{\kappa2+k_z2} \\ \xi &=& b_{\rm min}\sqrt{\kappa2+k_z2} \end{eqnarray*} を用いて置換積分すると \begin{eqnarray*} \int_{b_{\rm min}}\infty K_02\left(b\sqrt{\kappa2+k_z2}\right)b\,db &=& \frac{1}{\kappa2+k_z2}\int_{\xi}\infty K_02(\chi)\chi\,d\chi\\ &=& \frac{1}{\kappa2+k_z2}\left[\frac{1}{2}x2\left(K_02(\chi)-K_12(\chi)\right)\right]_{\xi}\infty\\ &=& \frac{b_{\rm min}2}{2}\left[K_12(\xi)-K_0^2(\xi)\right]\\ \int_{b_{\rm min}}\infty K_12\left(b\sqrt{\kappa2+k_z2}\right)b\,db &=& \frac{1}{\kappa2+k_z2}\int_{\xi}\infty K_12(\chi)\chi\,d\chi\\ &=& \frac{1}{\kappa2+k_z2}\left[\frac{1}{2}\chi2\left(K_12(\chi)-K_22(\chi)+\frac{1}{\chi}K_1(\chi)K_2(\chi)\right)\right]_{\xi}\infty\\ &=& \frac{b_{\rm min}2}{2}\left[K_22(\xi)-K_1^2(\xi)+\frac{1}{\xi}K_1(\xi)K_2(\xi)\right]\\ \end{eqnarray*} となる。

式 (7) 導出

式 (5) を 式 (2) に代入し、上で求めた式を使うと、式 (7) が導出できる。

\begin{eqnarray*} \frac{d\sigma_0}{dk_z} &=& \int_{b_{\rm min}}^\infty \frac{dW_0}{dk_z} b\,d{\bf b}\\ &=& \int_0{2\pi} \int_{b_{\rm min}}\infty \frac{dW_0}{dk_z} b\,db\,d\varphi\\ &=& 2\pi \int_{b_{\rm min}}^\infty \frac{dW_0}{dk_z} b\,db\\ &\simeq& 2\pi \int_{b_{\rm min}}\infty \frac{\sigma_TB2\kappa}{2\pi2}K_02\left(b\sqrt{\kappa2+k_z2}\right) b\,db\\ &=& \frac{\sigma_TB2\kappa b_{\rm min}2}{2\pi}\left[K_12(\xi)-K_02(\xi)\right], \ \ {\rm where} \ \ \xi = b_{\rm min}\sqrt{\kappa2+k_z2}\\ \end{eqnarray*}

式 (8) 導出

式 (6) を 式 (2) に代入し、上で求めた式を使うと、式 (8) が導出できる。

\begin{eqnarray*} \frac{d\sigma_1}{dk_z} &=& \int_{b_{\rm min}}^\infty \frac{dW_1}{dk_z} b\,d{\bf b}\\ &=& \int_0{2\pi} \int_{b_{\rm min}}\infty \frac{dW_1}{dk_z} b\,db\,d\varphi\\ &=& 2\pi \int_{b_{\rm min}}^\infty \frac{dW_1}{dk_z} b\,db\\ &\simeq& 2\pi \int_{b_{\rm min}}\infty \frac{\sigma_TB2}{2\pi2\kappa}\left[k_z2K_02\left(b\sqrt{\kappa2+k_z2}\right)+\left(k_z2+\kappa2\right)K_12\left(b\sqrt{\kappa2+k_z2}\right)\right] b\,db\\ &=& \frac{\sigma_TB2}{\pi\kappa}\int_{b_{\rm min}}\infty \left[k_z2K_02\left(b\sqrt{\kappa2+k_z2}\right)+\left(k_z2+\kappa2\right)K_12\left(b\sqrt{\kappa2+k_z^2}\right)\right] b\,db\\ &=& \left.\frac{\sigma_TB2 b_{\rm min}2}{2\pi\kappa}\right[k_z2\left(K_12(\xi)-K_02(\xi)\right)+\left(k_z2+\kappa^2\right)\\ &&\times \left.\left(K_22(\xi)-K_12(\xi)+\frac{1}{\xi}K_1(\xi)K_2(\xi)\right)\right], \ \ {\rm where} \ \ \xi = b_{\rm min}\sqrt{\kappa2+k_z2}. \end{eqnarray*}