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Old_Phys_memo

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密度 from LISE

  • 密度
    • Z = 1, H : 0.0715 g/cm3(たぶん固体。温度は?)

    • Z = 4, Be : 1.848 g/cm3

    • Z = 6, C : 2.253 g/cm3

    • Z = 13, Al : 2.702 g/cm3

    • Z = 14, Si : 2.323 g/cm3

    • Z = 26, Fe : 7.8658 g/cm3

    • Z = 82, Pb : 11.344 g/cm3

    • H10C9, BC-400 : 1.032 g/cm3

    • H8C10O4, Mayler- Melinex : 1.397 g/cm3

  • 1 g/cm2 になる厚さ

    • Z = 1, H : 140 mm
    • Z = 4, Be : 5.4 mm
    • Z = 6, C : 4.4 mm
    • Z = 13, Al : 3.7 mm
    • Z = 14, Si : 4.3 mm
    • Z = 56, Fe : 1.3 mm
    • Z = 82, Pb : 0.88 mm
    • H10C9, BC-400 : 9.7 mm

    • H8C10O4, Mayler- Melinex : 7.2 mm

Energy Loss

  • 37Mg 270 MeV/u の物質中(1 g/cm2)でのエネルギー損失(原子質量単位当たり~核子当り)

    • Z = 1, H : 31 MeV/u
    • Z = 4, Be : 12 MeV/u
    • Z = 6, C : 13 MeV/u
    • Z = 13, Al : 12 MeV/u
    • Z = 14, Si : 12 MeV/u
    • Z = 26, Fe : 10 MeV/u
    • Z = 82, Pb : 7.6 MeV/u
    • H10C9, BC-400 : 15 MeV/u

    • H8C10O4, Mayler- Melinex : 14 MeV/u

  • エネルギー 270 MeV/u, 原子番号 Z の原子核の 物質 1 g/cm2 中でのエネルギー損失(原子質量単位当たり~核子当り)は、およそ Z MeV/u

    • エネルギー損失は 物質の Z/A に比例する。たいていの物質は Z/A ~ 2。
    • Z/A = 1 の水素が入っていると、エネルギー損失が大きい。 Z/A ~ 2.5 の Pb だとエネルギー損失は小さい。

Sn 実際の値

  • 特に明記しない場合、出典は G. Audi et al., Nucl. Phys. A729, 337 (2003).

  • 31Ne

    • Sn = 0.29(1.64) MeV

    • S2n = Sn + 3.4(0.3) MeV = 3.7(1.7) MeV

      • (B. Jurado et al., Phys. Lett. B 649, 43 (2007).)

  • 30Ne

    • Sn = 3.03 (63) MeV

    • S2n = 4.29 (59) MeV

  • 22C

    • Sn = 0.75(1.03) MeV

    • S2n = 0.42(0.94) MeV

  • 20C

    • Sn = 2.93(26) MeV

    • S2n = 3.51(24) MeV

  • 19C

    • Sn = 0.58(9) MeV

    • S2n = 4.76(10) MeV

  • 18C

    • Sn = 4.180(30) MeV

    • S2n = 4.910(30) MeV

計算メモ

  • e-xsin(x), e-xcos(x) の積分

    •  

    • $$ \frac{d}{dx} e^{-x}\sin(x) = -e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x)$$

    •  

    • $$\frac{d}{dx} e^{-x}\cos(x) = -e^{-x}\cos(x)-e^{-x}\sin(x)$$

    •  

    • より、
    •  

    • $$\frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{2}\left(e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x) \right)\right) = e^{-x}\sin(x)$$

    •  

    • $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}\left(e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\cos(x) \right)\right) = e^{-x}\cos(x)$$

    •  

    • であるから、
    •  

    • $$\int e^{-x}\sin(x) dx = -\frac{1}{2}\left(e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x) \right) $$

    •  

    • $$\int e^{-x}\cos(x) dx =  \frac{1}{2}\left(e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\cos(x) \right) $$

    •  

  • e-axsin(x), e-axcos(x) の積分

    •  

    • $$\frac{d}{dx} e^{-ax}\sin(x) = -ae^{-ax}\sin(x)+e^{-ax}\cos(x)$$

    •  

    • $$\frac{d}{dx} e^{-ax}\cos(x) = -ae^{-ax}\cos(x)-e^{-ax}\sin(x)$$

    •  

    • より、
    •  

    • $$\frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{a^2+1}\left(ae^{-ax}\sin(x)+e^{-ax}\cos(x) \right)\right) = e^{-ax}\sin(x)$$

    •  

    • $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{a^2+1}\left(e^{-ax}\sin(x)-ae^{-ax}\cos(x) \right)\right) = e^{-ax}\cos(x)$$

    •  

    • であるから、
    •  

    • $$\int e^{-ax}\sin(x) dx = -\frac{e^{-ax}}{a^2+1}\left(a\sin(x)+\cos(x) \right) $$

    •  

    • $$\int e^{-ax}\cos(x) dx =  \frac{e^{-ax}}{a^2+1}\left(\sin(x)-a\cos(x) \right) $$

    •  

    •  

  • e-axsin(kx), e-axcos(kx) の積分

    •  

    • $$\int e^{-ax}\sin(kx) dx = \frac{1}{k}\int e^{-\frac{a}{k}kx}\sin(kx) dkx $$

    •  

      • $$ = -\frac{e^{-\frac{a}{k}kx}}{k\left((a/k)^2+1\right)} \left(\frac{a}{k}\sin(kx)+\cos(kx) \right) $$

      •  

      • $$ = -\frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(a\sin(kx)+k\cos(kx) \right) $$

      •  

    • $$\int e^{-ax}\cos(kx) dx = \frac{1}{k}\int e^{-\frac{a}{k}kx}\cos(kx) dkx $$

    •  

      • $$ =  \frac{e^{-\frac{a}{k}kx}}{k\left((a/k)^2+1\right)} \left(\sin(kx)-\frac{a}{k}\cos(kx) \right) $$

      •  

      • $$ =  \frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(k\sin(kx)-a\cos(kx) \right) $$

    •  

  • e-axsin(kx), e-axcos(kx) の定積分

    •  

    • $$\int^\infty_0 e^{-ax}\sin(kx) dx = \left[ -\frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(a\sin(kx)+k\cos(kx) \right) \right]^\infty_0 $$

    •  

      • $$ = \frac{k}{a^2+k^2} $$

      •  

    • $$\int^\infty_0 e^{-ax}\cos(kx) dx = \left[  \frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(k\sin(kx)-a\cos(kx) \right) \right]^\infty_0 $$

      •  

      • $$ = \frac{a}{a^2+k^2} $$

      •  

  • xe-axsin(kx), xe-axcos(kx) の定積分

    •  

    • $$\int^\infty_0 xe^{-ax}\sin(kx) dx = \left[ -x\frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(a\sin(kx)+k\cos(kx) \right) \right]^\infty_0 - \int^\infty_0 \ -\frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(a\sin(kx)+k\cos(kx) \right) dx$$

      •  

      • $$ = \frac{1}{a^2+k^2} \left(a\frac{k}{a^2+k^2}+k\frac{a}{a^2+k^2} \right) dx$$

      •  

      • $$ = \frac{2ak}{(a^2+k^2)^2} $$

      •  

    • $$\int^\infty_0 xe^{-ax}\cos(kx) dx = \left[  x\frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(k\sin(kx)-a\cos(kx) \right) \right]^\infty_0 - \int^\infty_0 \frac{e^{-ax}}{a^2+k^2} \left(k\sin(kx)-a\cos(kx) \right) dx$$

      •  

      • $$ = - \frac{1}{a^2+k^2} \left(k\frac{k}{a^2+k^2}-a\frac{a}{a^2+k^2} \right) $$

      •  

      • $$ = \frac{a^2-k^2}{(a^2+k^2)^2} $$

      •  

微分

  • $$\left(\frac{1}{f}\right)^\prime=-\frac{f^\prime}{f^2}$$

  • $$\left(\ln f\right)^\prime=\frac{f^\prime}{f}$$

  • $$\left(\ln f\right)^{\prime\prime}=\left(\frac{f^\prime}{f}\right)^\prime$$

    • $$=\frac{f^{\prime\prime}}{f}-\frac{(f^\prime)^2}{f^2}$$

    • $$=\frac{ff^{\prime\prime}-(f^\prime)^2}{f^2}$$

  • $$\left(\ln \left[e^{ax}+e^{bx}\right]\right)^{\prime\prime}=\frac{\left(e^{ax}+e^{bx}\right)\left(a^2e^{ax}+b^2e^{bx}\right)-\left(ae^{ax}+be^{bx}\right)^2}{\left(e^{ax}+e^{bx}\right)^2}$$

    • $$=\frac{e^{(a+b)x}(a-b)^2}{\left(e^{ax}+e^{bx}\right)^2}$$

  • $$\left(\ln \left[e^{ax}+e^{bx}+e^{cx}\right]\right)^{\prime\prime}=\frac{\left(e^{ax}+e^{bx}+e^{cx}\right)\left(a^2e^{ax}+b^2e^{bx}+c^2e^{cx}\right)-\left(ae^{ax}+be^{bx}+ce^{cx}\right)^2}{\left(e^{ax}+e^{bx}+e^{cx}\right)^2}$$

    • $$=\frac{e^{(a+b)x}(a-b)^2+e^{(b+c)x}(b-c)^2+e^{(a+c)x}(a-c)^2}{\left(e^{ax}+e^{bx}+e^{cx}\right)^2}$$

誤差

  • $$ \Delta \left( \frac{N^\prime}{N} \right) = \sqrt{\left[ \frac{\partial}{\partial N}\left( \frac{N^\prime}{N} \right)\right]^2 (\Delta N)^2 + \left[ \frac{\partial}{\partial N^\prime}\left( \frac{N^\prime}{N} \right)\right]^2 (\Delta N^\prime)^2  }$$

  • $$ = \sqrt{\frac{N^{\prime 2}}{N^4}(\Delta N)^2 + \frac{1}{N^2} (\Delta N^\prime)^2  }$$

  • $$ = \frac{N^\prime}{N} \sqrt{\left(\frac{\Delta N}{N}\right)^2 + \left(\frac{\Delta N^\prime}{N^\prime}\right)^2 } $$

  • $$ \left[= \frac{\Delta N^\prime}{N} \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta N}{N} \cdot \frac{N^\prime}{\Delta N^\prime}\right)^2  } \right]$$

  • $$ \left[\approx \frac{\Delta N^\prime}{N} \left( 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta N}{N} \cdot \frac{N^\prime}{\Delta N^\prime}\right)^2 \right), \ \ {\rm for} \ \ \left(\frac{\Delta N}{N} \cdot \frac{N^\prime}{\Delta N^\prime}\right)^2 \ll 1 \right]$$

  • ここで、$$ \Delta N = \sqrt{N}, \Delta N^\prime = \sqrt{N^\prime}$$ とすると、

  • $$ \Delta \left( \frac{N^\prime}{N} \right) = \frac{N^\prime}{N} \sqrt{\frac{1}{N} + \frac{1}{N^\prime} } $$

  • $$ \left[\approx \frac{\sqrt{N^\prime}}{N} \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{N^\prime}{N} \right), \ \ {\rm for} \ \ \frac{N^\prime}{N} \ll 1 \right]$$